codeforces 593E(矩阵类题目)

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决人从起点到终点所有可行路径数量的问题的方法。考虑到地图大小和时间序列操作，包括猫出现、消失及查询路径数，通过构建转移矩阵并利用快速幂优化计算。

给定一个R * C不超过20的图，一开始人在（1,1）然后给出之多100000个时间序列（按时间递增给出），

每个时间可能发生的事情是在某个位置出现猫（有猫的地方人不能存在），猫在某个位置消失，询问人从1,1点在1时刻出发在t时刻可以走到(x , y)的所有可行性路径数目。

分析：

典型的矩阵转移题目。

初始时用一个人d[ i ][ j]....代表人从1,1出发走了当前步数，可以走到1的路径数为i，走到2的路径数目为j,.......

那么转移矩阵 m[ ][ ] 代表的是从i - > j的所有可行路经数目，中间加上矩阵快速幂即可。

#include <bits/stdc++.h>

#define fst first
#define snd second
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof a)
#define rep(i,x) for(int i=0;i<(int)x;i++)
#define rep1(i,x,y) for(int i=x;i<=(int)y;i++)
#define LOGN  22
typedef long long ll;
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
struct Matrix{
   int m[22][22];
   void standard(int n){
       rep(i,n) rep(j,n) m[i][j]=(i==j);
   }
   void show(int n){
       rep(i,n){
          rep(j,n) cout<<m[i][j]<<" ";
          cout<<endl;
       }
   }
};
int n;
Matrix mul(Matrix A,Matrix B){
    Matrix C;
    rep(i,n) rep(j,n){
       C.m[i][j] = 0;
       rep(k,n) C.m[i][j] =(C.m[i][j] + (ll)A.m[i][k]*B.m[k][j]%mod)%mod;
    }
    return C;
}
Matrix pow_(Matrix A,int c){
    Matrix ret ; ret.standard(n);
    while(c > 0){
        if(c & 1) ret=mul(ret,A);
        A=mul(A,A);
        c>>=1;
    }
    return ret;
}
const int dx[]={-1 , 0 ,1, 0};
const int dy[]={ 0 , 1 ,0,-1};
int r , c , q;
int main()
{
   scanf("%d %d %d",&r,&c,&q);
   n = r * c;
   Matrix A; A.standard(n);
   rep(i , r) rep(j , c){
       rep(d , 4){
           int ni = i + dx[d] , nj = j + dy[d];
           if(ni>=0 && ni < r && nj >= 0 && nj < c)
             A.m[i*c + j][ni*c+nj]=1;
       }
   }
   Matrix all , now; all.standard(n);
   int pret = 1 , vis[22]={0};
   while(q--){
      int cmd,x,y,t;
      scanf("%d %d %d %d",&cmd,&x,&y,&t),--x,--y;
      rep(i , n) rep(j , n){
              if(!vis[i] && !vis[j]) now.m[i][j] = A.m[i][j];
              else now.m[i][j] = 0;
      }
      all = mul(all , pow_(now , t - pret));
      pret = t;
      if(cmd == 2) vis[x*c + y] = 1;
      else if(cmd == 3)vis[x*c + y] = 0;
      else if(cmd == 1) printf("%d\n",all.m[0][x*c + y]);
   }
   return 0;
}