【中国剩余定理】POJ 1006 生理周期

最新推荐文章于 2022-02-25 20:00:37 发布

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分类专栏：数论文章标签： C C++ 算法编程 ACM

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本文详细解释了中国剩余定理（孙子定理），包括其数学原理、使用条件和算法描述，并通过实例演示了如何求解相关问题。重点介绍了如何使用扩展欧几里得算法来寻找解，并提供了编程实现的示例。

[url]http://poj.org/problem?id=1006&lang=zh-CN&change=true[/url]

[size=medium][color=blue]Sample Input
0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output
Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.[/color]

[b][color=green]中国剩余定理【孙子定理】详解：[/color][/b]

其实就是解方程组：
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518037/08953bd2-d392-30b9-a7ae-20c9be8d9355.png[/img]
求res的值
[color=red][b]使用中国剩余定理的条件【重要！！！】：
n1，n2，n3……ni 这些数两两互质(互素)！！也就是两两之间的最大公约数是1！！[/b][/color]

回到正题：先看一下这个视频，后面的会更好理解！
[url]http://v.youku.com/v_show/id_XMTExNTAzOTIw.html[/url]

算法描述：【利用同余的加性和乘性】
令nn = n1×n2×n3×……×ni;
那么也就是说nn是ni的倍数！
所以有：nn/ni是其他n的倍数，不是ni的倍数，[color=red]而且nn/ni跟ni没有大于1的公约数[/color]
【如nn/n2，是n1,n3,n4...的倍数，但不是n2的倍数，[color=red]而且nn/n2和n2的最大公约数是1[/color]，因为上面说了这些数[color=red]两两互质[/color]】
[color=red]既然nn/ni是其他n的倍数，那么nn/ni这个数模其他n【n1,n2...n[i-1],n[i+1]...】的结果肯定是0，为下面利用同余的加性奠定了基础[/color]

[color=green]所以根据视频那种方法
可以先找到x使得：
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518039/3d2acea8-57ec-3889-8f5e-eec52d5df32b.png[/img]
假设找到这个x了，那么要满足第i个方程，则利用同余的乘性必有：
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518041/b37110ea-3547-35c9-9857-76a36bc3a945.png[/img]
那么[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518045/3270ddf4-c31e-3bc8-944b-a8e1f591b0fc.png[/img]就是res的一部分，它使得res满足第i个方程
所以利用同余的加性，把满足所有方程的这么一个部分加起来就是求出来的其中一组解了[/color]

[color=blue]怎么找x呢？【关键】
∵有重要条件：两两互质
∴nn/ni和ni也互质
∴[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518053/7e6150ef-8a5e-3253-af52-0609b4f5109e.png[/img]【根据上述:使用中国剩余定理的条件】
∴由扩展的【欧几里得】得：
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518055/9ce16480-1fae-30d3-852c-ccaed708360b.png[/img]
∴两边同时模ni得：
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518051/089c7610-d60e-32d4-961f-76f3bde6cef6.png[/img]
跟上面的式子[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/518039/3d2acea8-57ec-3889-8f5e-eec52d5df32b.png[/img]对比，发现x = x0
x0怎么求？
不就是利用【扩展欧几里得定理】咯！

[/color]
另外推荐题目：[url]http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1930[/url]
[/size]


#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
//#include <map>
#include <queue>
#include <utility>
#include <iomanip>
#include <stack>
#include <list>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <ctype.h>
using namespace std;

void Egcd (int a, int b, int &x, int &y)    //扩展欧几里得【无返回版】求x
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return ;
	}
	Egcd (b, a%b, x, y);
	int tp = x;
	x = y;
	y = tp - a/b*y;
}
int CRT (int n[], int b[], int nn)
{
	int res = 0, x, y, i;
	for (i = 0; i < 3; i++)
	{
		int a = nn / n[i];
		Egcd (a, n[i], x, y);    //求x
		res += a * x * b[i];    //把所有组成部分加起来【加性】
	}        //其中*b[i]是利用了同余的乘性
	return res;
}
int main()
{
	int n[5] = {23, 28, 33}, b[5], i, date, k = 1, x0;
	while (1)
	{
		for (i = 0; i < 3; i++)
			scanf ("%d", b+i);
		scanf ("%d", &date);
		if (date == -1)
			break;
		x0 = (CRT (n, b, 21252) - date) % 21252; //使解不大于21252
		if (x0 <= 0)
			x0 += 21252;  //负数或0特殊考虑
		printf ("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", k++, x0);
	}
	return 0;
}