球谐函数

最新推荐文章于 2025-06-22 18:17:09 发布

pizi0475

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本文深入探讨了球谐函数作为角动量算符本征函数的特性，及其在物理学与量子力学中的关键应用，包括拉普拉斯算符、多极展开以及氢原子波函数等领域。

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安林林、钟佩辰、朱柏旭等人赞同

定义

令 $\vec L = -i \vec r \times \nabla$ 为角动量算符（微分算符），球谐函数是角动量算符的本征函数：

$\begin{split}\vec L^2 Y_\ell^m (\theta,\varphi) &= \ell (\ell +1)Y_\ell^m (\theta,\varphi) \\L_zY_\ell^m (\theta,\varphi) &= mY_\ell^m (\theta,\varphi) \end{split}$

在球坐标下， $\vec L^2 = -\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} - \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2},$ $L_z = -i \frac{\partial}{\partial \varphi}$ 。
可以使用分离变量法这两个方程： $Y_\ell^m(\theta,\varphi) = \Theta(\theta)\Phi(\varphi)$

$\begin{split}&\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -\mu^2 \\&\frac{1}{\Theta(\theta)\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] - \frac{\mu^2}{\sin^2\theta}= \ell(\ell+1)\\&\frac{1}{\Phi(\varphi)}\frac{d}{d\varphi}\Phi(\varphi) = i m \end{split}$
显然容易得到， $\mu = m$ 。

作为角动量算符的本征函数，球谐函数具有良好的转动性质（另见：CG系数）。

函数形式

$Y_\ell^m(\theta,\ \varphi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - |m|)!\over (\ell+|m|)!}} \, P_\ell^m (\cos{\theta}) \, e^{im\varphi}$ 这里 $P_{\ell}^m(x)$ 是勒让德多项式， $P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell\over dx^\ell }(x^2 - 1)^\ell$ 。

正交完备性

$\int_{0}^\pi d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}$
$\sum_{\ell=-\infty}^\infty\sum_{m=-\ell}^\ell Y_\ell^m(\theta,\varphi){Y_\ell^{m}}^*(\theta',\varphi') \xrightarrow{L^2} \delta(\cos\theta-\cos\theta')\delta(\varphi-\varphi')$

因此球谐函数可以作为一组正交完备基，展开任意“性质良好”的函数 $f(\theta, \varphi)$ ，
$f(\theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} \, Y_{\ell m}(\theta, \varphi).$

图形

3D 图(球坐标)： $r = Y_\ell^m(\theta,\phi)$

2D密度图：

应用

应用在拉普拉斯算符——散度：
$\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} \equiv {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + \frac{\vec L^2}{r^2}$
这是因为散度算符是没有方向的。拉普拉斯方程、赫姆霍滋的解可以写成：
$f(\bm r) = \sum_n \sum_{\ell = 0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{+\ell} R_{n\ell m}(r) Y_{\ell}^m(\theta, \varphi)$

应用在多极展开：
$\frac{1}{|\bm r - \bm r'|}= \sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{4\pi}{2\ell+1} \frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}}Y_{\ell m}(\theta, \phi) Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})$ , 其中 $\bm r = (r, \theta, \varphi)$ 、 $\bm r' = (r', \theta', \varphi')$ 是极坐标， $r_< = \min\{r, r'\}, r_> = \max\{r, r'\}$ 。

实际上，该函数是非齐次拉普拉斯方程, $\nabla^2 \frac{1}{|\bm r - \bm r'|} = 4\pi\delta^{3}(\bm r - \bm r')$ ，在自由边界条件下的解。自由边界条件下任意非齐次拉普拉斯方程的解都可以由此构造出来，这就是所谓的 库仑定律：

若函数 $\phi(\bm r)$ 满足： $\nabla^2 \phi(\bm r) = 4\pi \rho(\bm r)$ ， $\rho(\bm r)$ 是个性质良好的已知函数。则,

$\phi(\bm r) = \int \mathrm d^3 r' \frac{\rho(\bm r')}{|\bm r - \bm r'|}$ .

应用在量子力学 —— 氢原子波函数、分子轨道等：如氢原子的薛定谔方程可以写作：
$\bigg( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{k e^2}{r} \bigg)\psi = E \psi$ ，
其中含有拉普拉斯算符，因此氢原子的波函数可以写作：
$\psi(\bm r) = \sum_n \sum_{\ell = 0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{+\ell} R_{n\ell m}(r) Y_{\ell}^m(\theta, \varphi) \equiv \sum_{n,m,\ell} \psi_{nm\ell}(\bm r)$
其中 $\psi_{nm\ell}(\bm r) = R_{nm\ell}(r) Y_\ell^m(\theta, \varphi)$ 是其本征态分类。