PGM：不完备数据的参数估计

http://blog.youkuaiyun.com/pipisorry/article/details/52626889

使用不完备数据的贝叶斯学习：MLE估计（梯度上升和EM算法）、贝叶斯估计。

表示：H[m]表示其值在数据实例o[m]（观测）中缺失的变量。

参数估计

与处理完备数据的类似，有两种估计方法：最大似然估计MLE和贝叶斯估计。

使用不完备数据的最大似然估计MLE

梯度上升方法

{优化似然函数算法1}

计算梯度

先考虑相对于一个单一CPD的表值P(x|u)的导数（一个数据的某些变量的一组观测的导数）

Note: 联合概率P(x, u, o)可以这么看，数据及观测中x,u,o应该是相互对应的，如果不对应其概率应该为0。

一个观测时？

Note: p(e)可以表示成包含P(x|u)的乘积形式，所有对其求导就是直接相除。

部分赋值的一般情况

Note: 与往常一样，也就是将未观测到的值积掉，将P(o)写成与P(o)一致（参数的部分与观测到的完全相同）的所有完全赋值的和。

表格-CPD梯度的形式

Note: 也就是定理19.1的加和，因为19.1只考虑了一个观测数据的结果。这里只是对所有M个观测数据加和了。

示例

Note: 相当于联合分布相对条件分布求导，就是梯度上升？

Note: 定理19.2是要计算M个实例的和，现在只计算了其中一个实例o。如果每次只计算一个数据o，是不是就成了随机梯度上升？而这里是批梯度上升？

Note: 函数就是MLE观测P(o)，某个梯度越大，说明沿那个梯度上升到P(o)最大值的速度越快。

Note: 这个有点没搞懂，大概就是p(d1|c0)+p(d0|c0)=1且两者均非负，而在相对p(d1|c0)的梯度上增大l似然更快。

CPD表的网络中计算梯度算法

梯度上升算法

梯度上升的改进

梯度上升的局部最大和全局最大

期望最大化EM

{优化似然函数的算法2}

EM不是非线性函数优化的通用算法，而是专门为优化函数定做的特殊算法。

直觉

使用数据填充方法估计缺失数据的参数方法及其缺点

这种方法相当于用先验概率填充值

互相推导的EM算法

这种方法其实就是在计算期望充分统计量时使用了后验概率。

示例

完备数据的MLE

不完备数据的MLE

随机初始化参数并计算实例的权重

通过缺失实例权重计算新的参数的期望充分统计量

通过后验概率计算期望充分统计量

其实就是将完备数据的指示变量替换成了后验概率。也就是为了估计，完备数据通过指示变量来计算M[c0]，为1或者0，而不完备数据则计算其存在于当前观测数据的概率。

贝叶斯网的EM算法

期望（E-步）

{可以从公式中看出注意期望是关于当前参数集的期望}

最大化（M-步）

将期望充分统计量当作观测，执行MLE，然后导出一个新的参数集。

贝叶斯网络EM算法的完整版本

扩展到一般的指数族。。。

EM步的一般情况

收敛性及局部最大值

使用EM的贝叶斯聚类

{EM的一个重要应用：聚类}

软聚类

假定类条件分布是多元高斯分布（实值数据）或者朴素贝叶斯结构（离散环境）。聚类的EM算法使用一个软聚类赋值，允许每个实例将其部分权重分摊给多个聚类，所分配的权重与其属于每个类别的概率成正比。

。。。

硬赋值EM

k-均值算法。。。

专栏19.A：发现用户聚类

给定用户的聚类赋值C，每个用户的个人购买Xi可以认为是相互条件独立的。我们有一个可以在其上使用EM算法的朴素贝叶斯模型。

这种方法的性能比专栏18.C的结构学习方法的性能更低，大概因为用户聚类变量完全不能在大量商品中捕捉复杂的偏好模式。

专栏18.C：用于协同过滤的贝叶斯网

对用户群体观察，学习不同交易间的相依结构。将每件商品i当作联合分布中的一个向量Xi，且将每个用户当作一个实例。

理论基础*

。。。

也可参考[EM算法]

硬-赋值EM

。。。

梯度上升和EM的比较

。。。

专栏19.C：参数学习中的实际考虑

局部极大值、停止准则、加速收敛

近似推理*

看不懂。。。

皮皮blog

使用不完备数据的贝叶斯学习

概述

贝叶斯方法中，把参数视为影响所有训练实例概率的未观测变量。于是学习相当于根据观测来计算新样本的概率，这种学习可以通过计算参数上的后验概率来执行，且使用它进行预测。

不完备数据贝叶斯推理的解决方法

MCMC采样

Gibbs采样

专栏19.E：从狄利克雷分布中采样

 

坍塌的MCMC

变分贝叶斯学习

皮皮blog

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