LightOJ 1356 Aladdin and the Flying Carpet（唯一分解定理）

最新推荐文章于 2020-05-16 17:04:15 发布

原创最新推荐文章于 2020-05-16 17:04:15 发布 · 536 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

~~~~~~素数筛选法~~~~ 专栏收录该内容

6 篇文章

订阅专栏

本文探讨了如何解决一个特定的数学问题——寻找能够构成指定面积的长方形边长组合的数量，要求较短的边不小于给定阈值。通过质因数分解和算法优化，实现了高效解决方案。

Aladdin and the Flying Carpet

解题思路：

题目大意：

给一对数字 a，b ，a是一个长方形的面积，问有多少种整数的边的组合可以组成面积为a的长方形，要求最短的边不得小于b。

其实，就是求区间[b, a] 内的 a 的约数对的个数。满足c*d==a且c>=b且d>=b的c,d二元组对数，(c,d)和(d,c)属于同一种情况。

算法思想：

根据唯一分解定理，先将a唯一分解，则a的所有正约数的个数为num = (1 + a1) * (1 + a2) *...(1 + ai)，这里的ai是素因子的指数，见唯一分解定理，因

为题目说了不会存在c==d的情况，因此num要除2，去掉重复情况，然后枚举小于b的a的约数，拿num减掉就可以了。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long ll;
int vis[1000005];
vector<int> prime;

void get_prime(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    prime.clear();
    for(int i = 2; i <= 1000000; i++){
        int tt = 1000000/i;
        for(int j = 2; j <= tt; j++)
            vis[i*j] = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= 1000000; i++){
        if(!vis[i])
            prime.push_back(i);
    }
}

ll solve(ll n){
    int l = prime.size();
    ll ans = 1;
    for(int i = 0; i < l && prime[i] <= sqrt(n*1.0); i++){
        int t = 0;
        while(n%prime[i] == 0){
            t++;
            n /= prime[i];
        }
        ans *= (t+1);
    }
    if(n > 1)
        ans *= 2;
    return ans;
}

int main(){
    get_prime();
    int T,t = 1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll a,b;
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        if(a < b*b){
             printf("Case %d: 0\n",t++);
            continue;
        }
        ll ans = solve(a);
        ans /= 2;
        for(int i = 1; i < b; i++){
            if(a%i == 0)
                ans--;
        }
        printf("Case %d: %lld\n",t++,ans);
    }
    return 0;
}