关于dp01背包问题的几点理解（二维数组，java实现）

• 01背包问题：
• 给定N种物品和一个背包。物品i的重量是weight[i],其价值value[i] （i<=N），背包的容量为M。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值为最大？在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。
• 例如：假设现有容量15kg的背包，另外有4件物品，分别为a1，a2，a3, a4。
• 物品a1重量为3kg，价值为4；
• 物品a2重量为4kg，价值为5；
• 物品a3重量为5kg，价值为6 ;
• 物品a4重量为6kg，价值为7 。
• 问：将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

解决dp(动态规划)问题基本有四个主要步骤：

1. 描述一个最优解的结构（最优子结构），借助“图”可利于分析问题；
2. 分析重叠子结构性质（计算某一种情况时，会重复出现之前的计算步骤），从而确定“自底向上”or“带备忘录的自顶向下”解题方法；
3. 关键：递归定义状态方程；

4. 构建路径（此步依题而定，如果只求最优解则可以省略）。

   设:
   weight[i]:第i个物品的重量；
   value[i]：第i个物品的价值；
   f[i][j]重点内容:在只有i个物品，背包容量为j的情况下,问题的最大价值。
   或者理解为：前i个物品装入容量为j的背包里获得的最大价值。
   注意：
   f[i][0]:0容量时，所有物品都不取，最大价值为0；
   f[0][j]:没有物品可取，最大价值为0。

因此，容易得出本题的状态方程： 
(1) f(i,0)=f(0,j)=0    
(2) f(i,j)=f(i-1,j)                        j<wi                                       
    f(i,j)=max{f(i-1,j) ,f(i-1,j-wi)+vi)   j>wi

(2)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则物品i不能装入背包。此时，装入前i个物品得到的最大价值（最优解）和装入前i-1个物品得到的最大价值是相同的；

反之，如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有两种情况：
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的总价值等于第i-1个物品装入容量为j-weight[i] 的背包中的价值加上第i个物品的价值value[i];
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品总价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。
显然，取二者中价值最大的作为 前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

• 注意!!!对于max函数的理解：
  此时待选的物品仍有很多个，所以这是是一个比较最大值的过程，需要计算多次。不要单纯的把物品想象成只有一个，装进背包，价值一定增大。max比较的是：待装的物品中，将哪个装入，可使得总价值最大（最优解）。

结合以下状态表格更容易理解。
横坐标为背包剩余容量（递增），纵坐标为选中物品的数量（递增）。
每一个单元格含义：在满足当前容量及物品个数要求时，所能创造的最大价值。

接下来，直接贴代码：

package dp0_1背包;

public class Main {
static final int M = 15;//背包容量

    public static void main(String[] args) {
        int N = 4;//物品种类
        int[] weight = {0, 3, 4, 5, 6};//为了题解方便，i对应第i个物品
        int[] value = {0, 4, 5, 6, 7};

        KnapSack(N, weight, value);
    }

    private static void KnapSack(int N, int[] weight, int[] value){
        int[] x = new int[N+1];
        int[][] f = new int[N+1][M+1];

        for(int i=1; i<=N; i++)
            for(int j=1; j<=M; j++){
                if(j < weight[i])
                    f[i][j] = f[i-1][j];
                else
                    f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
                    //dp可以存储之前计算过的量，从而减少内存就体现在这里。如果收益比上一次大就记录下来，否则不记录，节省内存。
            }

        //记录路径
        //!!!在选择物品是否装入背包时，一定要逆序！！
        //因为判断下一个是否要装入时，是在减掉前面装入的所有容量之和之后，才判断下一个能否装入
        //而不是一项一项累加 判断和是否超出容量界限。
        int j = M;
        for(int i=N; i>=1; i--)   
            if(f[i][j]>f[i-1][j]){
                x[i] = 1;       //第i个物品要选
                j = j - weight[i];
            }
        System.out.println("选中的物品是:");
        for(int i=1; i<=N; i++)
            System.out.print(x[i] + " ");
        System.out.println();
    }
}

结果：

选中的物品是:
1 1 1 0 

• 最后，可以看出：在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决（降维），一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。
• 这里只写出状态方程，代码交给诸位博友自由发挥吧。
• f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);