极化码：信道极化原理(三)——N信道极化定理

胖闹闹

已于 2022-04-28 14:42:16 修改

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分类专栏：极化码文章标签：概率论算法矩阵

于 2022-04-20 08:17:12 首次发布

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本文详细介绍了极化码的信道极化原理，通过逐步将两信道极化并递推到N信道的过程，展示了如何通过多次极化变换提高信道容量可达性。重点阐述了四信道和N信道极化过程，并利用互信息链式法则来表达信道极化。

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前言：
极化码：信道极化原理(一)——两信道极化
 极化码：信道极化原理(二)——两信道极化定理证明

正文：
经过两信道极化变换得到的 $W_2^{\left( 1 \right)}$ 与 $W_2^{\left( 2 \right)}$ 仍是B-DMC信道。因此，可以对 $W_2^{\left( 1 \right)}$ 与 $W_2^{\left( 2 \right)}$ 分别再进行一次两信道极化变换，即
${W_2^{\left( 1 \right)},W_2^{\left( 1 \right)}} ) \mapsto ( {W_4^{\left( 1 \right)},W_4^{\left( 2 \right)}} )$
${W_2^{\left( 2 \right)},W_2^{\left( 2 \right)}} ) \mapsto ( {W_4^{\left( 3 \right)},W_4^{\left( 4 \right)}} )$

图1 四信道极化过程

从而得到如图1所示的 四信道极化变换。类似的，对四信道极化变换进行递推可以得到 $N = {2^n}$ 个信道的极化变换，如图2所示。

图2 N信道极化过程

图2中，矩阵 ${\bf R}_N$ 表示对长度为 $N$ 的序列进行奇偶重排操作，即
$s_1^N \cdot {\bf R}_N = \left( {{s_1},{s_3}, \cdots ,{s_{N - 1}},{s_2},{s_4}, \cdots ,{s_N}} \right)$ ，以确保进行极化变换的两个信道可靠度相同。

信道极化变换可以用互信息链式法则进行表示，给定信源序列随机变量 $U_1^N$ 和接收序列随机变量 $Y_1^N$ ，根据互信息链式法则可得

$I\left( {U_1^N;Y_1^N} \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {I\left( {{U_i};Y_1^N\left| {U_1^{i - 1}} \right.} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^N {I\left( {{U_i};Y_1^N,U_1^{i - 1}} \right)},$

其中 ${I\left( {{U_i};Y_1^N,U_1^{i - 1}} \right)}$ 表示第 $i$ 个极化子信道 $W_N^{\left( i \right)}: {\mathcal X} \to {{\mathcal Y}^N} \times {{\mathcal X}^{i - 1}}$ 的互信息，其信道转移概率为

$W_N^{\left( i \right)}\left( {y_1^N,u_1^{i - 1}|{u_i}} \right) = \sum\limits_{u_{i + 1}^N \in {{\mathcal X}^{N - i}}} {\frac{1}{{{2^{N - 1}}}}{W_N}\left( {y_1^N|u_1^N} \right)},$

其中， ${W_N}\left( {y_1^N|u_1^N} \right) = \prod\limits_{i = 1}^N {W\left( {{y_i}|{x_i}} \right)}$ 。

信道转移概率可以递归计算，即

$\begin{aligned} & W_{2N}^{\left( {2i - 1} \right)}\left( {y_1^{2N},u_1^{2i - 2}\left| {{u_{2i - 1}}} \right.} \right)\\ & = \sum\limits_{{u_{2i}}} {\frac{1}{2}W_N^{\left( i \right)}\left( {y_1^N,u_{1,o}^{2i - 2} \oplus u_{1,e}^{2i - 2}\left| {{u_{2i - 1}} \oplus {u_{2i}}} \right.} \right) \cdot \frac{1}{2}W_N^{\left( i \right)}\left( {y_{N + 1}^{2N},u_{1,e}^{2i - 2}\left| {{u_{2i}}} \right.} \right)},\\ & W_{2N}^{\left( {2i} \right)}\left( {y_1^{2N},u_1^{2i - 1}\left| {{u_{2i}}} \right.} \right)\\ & = \frac{1}{2}W_N^{\left( i \right)}\left( {y_1^N,u_{1,o}^{2i - 2} \oplus u_{1,e}^{2i - 2}\left| {{u_{2i - 1}} \oplus {u_{2i}}} \right.} \right) \cdot W_N^{\left( i \right)}\left( {y_{N + 1}^{2N},u_{1,e}^{2i - 2}\left| {{u_{2i}}} \right.} \right). \end{aligned}$

Arıkan证明了当码长 $N$ 趋于无穷时，极化码的信道容量可达性，即

定理：对于任意的B-DMC信道 $W$ ，经过 $n$ 次信道极化变换，得到 $N = 2^n$ 个极化子信道 ${ {W_N^{( i )}} \}$ ， $\le i \le N$ 。当码长 $\to \infty$ 时，对于 $\forall \delta \in (0,1)$ ， ${ {W_N^{( i )}} \}$ 中满足 $\delta) <I({W_N^{( i )}}) \le 1$ 的信道数量占总信道数 $N$ 的比例趋近于 $I (W)$ 。相反，满足 $\le I({W_N^{( i )}}) < (1 - \delta)$ 的信道数量占总信道数 $N$ 的比例趋近于 $1 - I (W)$ 。

参考文献
[1] E. Arıkan, “Channel polarization: A method for constructing capacity achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 55, no. 7, pp. 3051–3073, Jul. 2009.