30、正则表达式与上下文语法的深入探究

正则表达式与上下文语法的深入探究

1 正则表达式相关内容

1.1 多项式运行时间定理

对于所有正则表达式 (r \in R_{\Sigma}) 和所有位置 (q \in sym(\mu(r)))，有以下结论：
- 计算 (first(r)) 和 (last(r)) 的时间复杂度为 (O(|r|))。
- 计算所有 (q) 的 (follow(r, q)) 的时间复杂度为 (O(|r|^3))。

证明过程 ：
- 对于第一点，根据引理 1 的部分内容可知 (|first(r)| = O(|r|)) 且 (|last(r)| = O(|r|))。假设集合的并集操作可以在线性时间内完成，并且给位置添加前缀数字（如 (\langle1\rangle \odot p)）可以在常数时间内完成。然后通过对 (r) 进行归纳，可以证明运行时间为 (O(|r|))。
- 对于第二点，首先计算 (r) 的所有子表达式的 (first) 和 (last)，这需要 (O(|r|^3)) 的时间。然后计算 (follow(r, q)) 意味着对 (follow) 进行线性次数的调用，每次调用除了递归调用 (follow) 之外，最多需要 (O(|r|^2)) 的时间。

1.2 约束范式与计数器 - 1 无歧义性

1.2.1 约束范式

一个正则表达式 (r) 处于约束范式中，当且仅当 (r) 中不存在形式为 (r_{n..m}^1) 的子表达式，其中 (r_1 \in N_{\Sigma})。例如，((a^ a)^{2..3}) 处于约束范式中，而