22、可数单词的上下文无关语言与线性顺序相关研究

可数单词的上下文无关语言与线性顺序相关研究

1. 引言

在计算机科学和数学领域，单词和语言的研究是一个重要的方向。这里所说的单词是字母表 Σ 上的标记线性顺序的同构类型。除了有限单词和 ω - 单词，还会考虑其底层线性顺序为任意可数线性顺序的单词，包括分散和密集线性顺序。

有限自动机在 ω - 单词上的研究始于 B¨uchi，他利用自动机证明了序数 ω 的一元二阶理论的可判定性。此后，ω - 单词自动机得到了广泛扩展，涵盖了超过 ω 的序数单词、底层线性顺序不一定是良序的单词，以及有限和无限树的自动机。通过自动机理论方法，在序数和其他线性顺序的一阶和一元二阶理论方面取得了许多可判定性结果。

可数单词最早被称为“排列”进行研究。研究表明，任何排列都可以表示为可能无限的标记二叉树的前沿单词，并且由有限递归方案定义的单词恰好是由正则树的前沿表示的单词。人们提出了一些问题并在后续研究中得到了解决，例如判定两个正则树是否表示相同的正则单词，引入了无限集合的正则运算，证明了每个正则单词都可以用正则表达式表示，还获得了正则运算子集合的完全公理化。此外，有研究提出用正则表达式表示分散可数单词的语言和可能密集单词的语言，并建立了 Kleene 定理，表明无限单词的语言可由有限自动机识别当且仅当它可以用正则表达式表示。

除了自动机和表达式，生成式文法也是表示有限单词语言的常见方式。上下文无关文法已被用于生成 ω - 单词的语言，但对于可能长于 ω 的可数单词语言，相关研究较少，仅近期有关于线性文法的工作。这里将考虑配备 B¨uchi 型接受条件的上下文无关文法（BCFG）生成的可数单词语言。

2. BCFG 与 BCFL

BCFG 是一