100、图的拟多项式时间分区预言机

图的拟多项式时间分区预言机

在图论和算法领域，设计高效的分区预言机对于解决许多图相关问题至关重要。本文将介绍一种针对排除子式图的分区预言机，它在查询复杂度和运行时间上具有拟多项式特性，为图的测试和近似算法带来了显著的改进。

1. 研究贡献

我们提出了一种针对排除子式图的分区预言机，其查询复杂度和运行时间为 $(d/ϵ)^{O(log(1/ϵ))} = d^{O(log^2(1/ϵ))}$，即关于 $1/ϵ$ 是拟多项式的。

1.1 影响

• 测试算法改进 ：Hassidim 等人展示了如何将测试 $H$-子式自由性（对于固定图 $H$）的问题转化为设计 $H$-子式自由图的分区预言机问题。他们得到的测试算法的查询复杂度和运行时间为 $2^{poly(1/ϵ)}$，优于 Benjamini 等人的算法（复杂度为 $2^{2^{2^{poly(1/ϵ)}}}$）。使用我们的分区预言机，可得到复杂度为 $2^{O(log^2(1/ϵ))}$ 的测试算法。
• 其他应用 ：对于图类 $C$（这里 $C$ 是任何排除子式的图类）的分区预言机，有一些常数时间算法。在输入图属于 $C$ 的承诺下，Hassidim 等人提供了最小顶点覆盖、最小支配集和最大独立集大小的 $ϵ|V|$-加法近似算法，以及关于不包含固定子集 $H$ 中任何图作为诱导子图的距离的 $ϵ$-加法近似算法。结合我们的分区预言机，这些算法的查询复杂度从 $d^{poly(1/ϵ)}$ 降至 $(d/ϵ)^{O(log(1/ϵ))} = d^{O(log^2(1/ϵ))}$。