98、递归多数函数随机决策树复杂度的改进下界

递归多数函数随机决策树复杂度的改进下界

1. 引言

在决策树模型中，我们聚焦于递归多数 - 三函数（recursive majority - of - three function）的随机决策树复杂度的下界证明。形式上，当且仅当 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 中至少两个为 1 时，$maj_1(x_1, x_2, x_3)$ 的值为 1。对于 $d > 0$，通过 $y_i = (x_{(i - 1)3^d + 1}, \ldots, x_{i3^d})$（$i = 1, 2, 3$），定义 $maj_{d + 1}(x_1, \ldots, x_{3^{d + 1}}) = maj(maj_d(y_1), maj_d(y_2), maj_d(y_3))$，这里 $maj$ 即 $maj_1$。该函数可用均匀三元树表示，设 $U_d$ 为深度为 $d$ 的均匀三元树，其内部节点标有 $maj$ 门，此树所计算的函数就是 $maj_d$。

Ravi Boppana 给出的这个函数，其确定性复杂度为 $3^d$，而随机复杂度渐近更小。类似性质的函数还有 $nand_d$，由 Snir 首次分析，它由深度为 $d$ 的均匀二叉树表示，内部节点标有 $nand$ 门。计算 $maj_d$ 和 $nand_d$ 的简单随机框架是：从根节点开始，在输出未知时随机选择一个子节点并递归求值，这类算法被称为定向算法。对于 $maj_d$，定向算法需 $(8/3)^d$ 次查询，不过存在更优算法。Saks 和 Wigderson 证明定向算法对 $nand_d$ 是最优的，其零误差随机决策树复杂度为 $\Theta((\frac{1 + \sqrt{33}}{4})^d)$，证明采用自底向上归纳法和广义成本