97、证明图为拉姆齐图的复杂度分析

证明图为拉姆齐图的复杂度分析

1. 基础概念与理论

• 分辨率宽度与证明长度 ：子句的宽度是指其包含的文字数量，CNF（合取范式）φ的宽度是其最宽子句的宽度，分辨率反驳Π的宽度也是其最宽子句的宽度。用W(φ)表示反驳不可满足的CNF φ的最小宽度。有一个重要结果表明，可以通过证明证明宽度的下界来证明证明长度的下界。对于任何具有m个变量且宽度为k的CNF φ，有$L(φ) ≥2^{Ω(\frac{(W(φ) - k)^2}{m})}$。
• 组合游戏 ：有两个玩家，分别是证明者（Prover）和对手（Adversary）。证明者声称CNF φ不可满足，对手声称知道一个满足赋值。在游戏的每一轮，证明者询问某个变量的值，对手必须回答。证明者将答案保存在内存中，每个变量值占用一个内存位置，也可以删除保存的值以节省内存。如果被删除的变量再次被询问，对手可以给出不同的答案。当内存中的部分赋值使φ的一个子句为假时，证明者获胜；如果对手有永远玩下去的策略，则对手获胜。对于不可满足的φ，证明者获胜所需的最小内存位置数量与分辨率反驳的宽度有关，给定不可满足的CNF φ，W(φ) + 1个内存位置足以让证明者在与任何对手的游戏中获胜。

2. 团公式相关分析

• 团公式定义 ：对于任何图G，公式ΨG↾y = 1可满足当且仅当G有一个大小为ck的团，将这个受限公式称为Clique(G)；对偶地，ΨG↾y = 0等价于Clique( ¯G)。并且有$max{L(Clique(G)), L(Clique( ¯G))} ≤ L(ΨG)$，同时