96、简单图模型检查下界与图的Ramsey性质证明复杂度

简单图模型检查下界与图的Ramsey性质证明复杂度

1. 简单图模型检查下界

在图论和逻辑的研究中，模型检查是一个重要的问题，它关注的是给定一个图和一个逻辑公式，判断该图是否满足这个公式。对于简单图，我们可以通过观察两个基本事实来复用之前定理的思想。

首先，利用合适的MSO2公式，我们可以在给定的完全图中选择一组边，从而诱导出一条生成路径。这样一来，我们就可以假设其结构与路径的情况相同。其次，eqL谓词可以以常量大小构建，因为在完全图中，两个不相交的顶点集相等当且仅当它们之间存在完美匹配，而这是MSO2可表达的。

基于这些事实，我们得到一个推论：如果存在一个算法，对于具有n个顶点的完全图$K_n$和一个MSO2公式$\varphi$，能在$n^{f(|\varphi|)}$时间内判定$K_n \models \varphi$（其中$f$为任意函数），那么EXP = NEXP。

接下来，我们关注树深度相关的模型检查问题。对于有根的t - 着色树$T$，高度为$h \geq 1$，以及具有$r$个量词的MSO句子$\varphi$，有如下定理：

定理4：可以通过一个参数固定可解（FPT）算法在$O\left(\exp(h + 1)\left(2^{h + 5r}(t + r)\right) + |V(T)|\right)$时间内判定$T \models \varphi$。

这个定理是近期获得树深度和灌木深度的基本模型检查算法的主要工具，因为在这两种情况下，策略都是将图解释为有界高度的着色树。不过，该定理给出的运行时间是公式$\varphi$的基本函数，但在树的高度上是非基本的。虽然我们希望避免这种情况，但不难看出，至少对其中