95、简单图模型检查的下界分析

简单图模型检查的下界分析

1. 引言

在图论和逻辑模型检查领域，确定模型检查的复杂度下界是一个重要的研究方向。本文聚焦于简单图（如阈值图、路径、一元字符串等）的模型检查问题，旨在探讨在不同类型的图和逻辑公式下，模型检查算法的复杂度下限。通过一系列的理论推导和证明，我们将揭示在特定假设下，某些图类的模型检查问题不存在具有基本参数依赖的固定参数可处理（FPT）算法。

2. 预备知识

• 模型检查问题 ：给定一个逻辑公式 φ 和一个结构 S（通常是图或字符串），判断 S 是否满足 φ，即 S |= φ。
• 逻辑语言约定 ：
  • 小写字母表示单元素（一阶）变量，大写字母表示集合变量。
  • 对于图输入，存在谓词 E(x, y) 编码边；对于字符串输入，谓词 ≺ 编码全序；对于有根树输入，谓词 C(x, y) 表示 x 是 y 的子节点。
  • 输入可能包含一组颜色，对于每种颜色 c，有一元谓词 Pc(x)。
  • 对于无颜色的单路径图，可以通过任意选择路径的一个端点 s 来模拟 ≺ 谓词，即若从 s 到 y 的所有路径都包含 x，则 x ≺ y。
  • 本文大部分情况下讨论的图的 MSO 逻辑指的是 MSO1，即仅对顶点集进行量化。例外情况是推论 4 讨论的 MSO2 逻辑，允许对边集进行量化。同时，假设 MSO 公式可以使用简单的集合操作（如并集和交集），这些操作可以用常数大小的一阶公式实现。