93、基于最大秩的算术电路下界研究

基于最大秩的算术电路下界研究

引言

算术电路是多项式计算的基础模型。在代数复杂性领域，确定多项式规模算术电路的局限性是一个核心的开放性问题。近年来，有研究表明，如果一个含 $n$ 个变量、次数为 $d$（与 $n$ 呈线性关系）的多项式能由规模为 $2^{o(n)}$ 的算术电路计算，那么它也能由规模为 $2^{o(n)}$ 的深度为 4 的电路计算，这也解释了证明深度为 4 的电路下界的困难性。对于深度为 3 的电路，在有限域上已有指数下界的结果，但在无限域上获得强下界仍是一个长期未解决的问题。

此前，对于限制门计算多线性多项式的模型研究较多，已知计算永久多项式或行列式多项式的多线性公式有超多项式下界，但证明任意多线性算术电路的超多项式下界仍是一个开放问题。以往使用的偏导数矩阵方法只能对多线性电路得出下界。

本文引入了多项式系数矩阵，并将该矩阵在变量替换下的最大秩作为多元多项式的复杂度度量。通过分析最大秩在算术运算下的变化，结合相关工具证明了各种算术电路限制下的最大秩上界，进而对几类非多线性算术电路证明了超多项式下界，具体结果如下：
1. 对于计算 $d$ 个 $n×n$ 矩阵乘积的齐次深度为 3 的电路，其规模至少为 $\Omega(n^{d - 1}/2^d)$。
2. 存在一个关于 $n$ 个变量、次数至多为 $n^2$ 的显式多项式，对于乘积维数至多为 $\frac{n}{10}$ 的深度为 3 的电路，其规模至少为 $2^{\Omega(n)}$。
3. 对于乘积稀疏公式的规模，证明了 $n^{\Omega(\log n)}$ 的下界。
4. 对于分区算术分支程序的规模，证明了 $2^{\Omega(n)}$ 的下界。