90、流式半匹配近似算法研究

流式半匹配近似算法研究

1. 引言

在图论领域，半匹配问题是一个重要的研究方向。本文聚焦于流式环境下的半匹配近似问题，介绍了相关的概念、算法以及通信复杂度的上下界。流式算法在处理大规模数据时具有重要意义，而半匹配问题在资源分配、调度等实际场景中有广泛应用。

2. 符号和定义

• 图的表示 ：设 $G = (A, B, E)$ 为一个二分图，其中 $n = |A|$，且假设 $|B|$ 以 $n$ 的多项式为上界。对于边 $e \in E$，连接节点 $a \in A$ 和 $b \in B$，用 $A(e)$ 表示顶点 $a$，$B(e)$ 表示顶点 $b$，$ab$ 表示边 $e$。
• 邻域和度 ：对于节点 $v \in A \cup B$，其邻域 $\Gamma(v)$ 是与 $v$ 相连的节点集合；对于边子集 $E’ \subseteq E$，$\Gamma_{E’}(v)$ 表示在由 $E’$ 诱导的图中 $v$ 的邻域，$deg_{E’}(v)$ 表示节点 $v$ 在 $E’$ 中的度，$deg_{max} E’ := \max_{v \in A \cup B} deg_{E’}(v)$。
• 匹配相关概念 ：
  • 匹配 $M$ 是 $E$ 的一个子集，使得 $\forall v \in A \cup B : deg_{M}(v) \leq 1$。
  • 极大匹配是包含意义下的最大匹配，即不能再添加 $E$ 中的边来扩大它。