88、线性核与单指数算法及有限值CSPs的线性规划能力

线性核与单指数算法及有限值CSPs的线性规划能力

在算法研究领域，图论中的删除问题以及约束满足问题（CSPs）一直是重要的研究方向。本文将探讨线性核与单指数算法在图删除问题中的应用，以及线性规划在有限值CSPs中的强大作用。

1. 图删除问题的算法

1.1 不相交平面F删除问题

不相交平面F删除问题是图论中的一个重要问题。对于一个图 $G$，给定一个集合 $Y_0$ 和一个整数 $k$，目标是找到一个大小至多为 $k$ 的顶点集合 $\tilde{X} \subseteq V(G) \setminus Y_0$，使得删除 $\tilde{X}$ 后的图满足特定条件。

为了解决这个问题，我们可以利用图的 $(\alpha, \beta)$ - 突出分解。设 $P = Y_0 \uplus Y_1 \uplus \cdots \uplus Y_{\ell}$ 是图 $G$ 的一个 $(\alpha, \beta)$ - 突出分解，存在一个 $O(2^{\ell} \cdot n)$ 时间的算法，该算法可以计算出满足条件的解 $\tilde{X}$，如果解存在；或者正确判定不存在这样的解。

1.2 平面F删除问题的求解

平面F删除问题可以归约为不相交平面F删除问题。如果不相交平面F删除问题可以在单指数时间内求解，那么平面F删除问题也可以在单指数时间内求解，只是多项式函数的次数会增加1。

具体求解步骤如下：
1. 给定不相交平面F删除问题的一个实例 $(G, X, k)$，应用相关命题，要么正确判定该实例为否实例，要么在 $2^{O(k)} \cdot n$ 时间内识别出一个大小至多为 $k