87、线性核与单指数算法：图论问题的高效解决方案

线性核与单指数算法：图论问题的高效解决方案

在图论领域，解决参数化图问题时，线性核和单指数算法是两个重要的研究方向。本文将介绍这些算法的相关概念、构造方法以及在具体问题中的应用。

1. 预备知识

• 图论基本概念
  • 图的表示 ：给定图 $G$，用 $V(G)$ 表示其顶点集，$E(G)$ 表示其边集。
  • 子图与拓扑子式 ：图 $G$ 的子图是通过移除 $G$ 的一些顶点和边得到的图；拓扑子式是通过收缩子图中的零条或多条边得到的图，且每条收缩边至少有一个端点的度数至多为 2。若图 $G$ 不包含图 $H$ 作为（拓扑）子式，则称 $G$ 是 $H$ -（拓扑）子式自由的。
  • 参数化图问题 ：参数化图问题 $\Pi$ 是一组元组 $(G, k)$ 的集合，其中 $G$ 是图，$k \in \mathbb{N}_0$。若 $G$ 是一个图类，$\Pi$ 限制在 $G$ 上的问题定义为 $\Pi_G = {(G, k) | (G, k) \in \Pi \text{ 且 } G \in G}$。
  • 固定参数可解性 ：参数化问题 $\Pi$ 是固定参数可解的（FPT），如果存在一个算法，能在时间 $f(k) \cdot poly(|x|)$ 内判定实例 $(x, k)$，其中 $f$ 仅为 $k$ 的函数。
  • 核化算法 ：对于参数化问题 $\Pi \s