77、扩展器码的局部可校正性

扩展器码的局部可校正性

在数据传输和存储过程中，错误校正至关重要。扩展器码作为一种特殊的线性码，以其高效的解码算法而闻名。本文将深入探讨扩展器码的局部可校正性，介绍一种新的局部解码算法，为构建具有恒定速率的局部可解码码提供了新途径。

1. 引言

在标准的错误校正中，发送者将消息 $x \in {0, 1}^k$ 编码为码字 $c \in {0, 1}^N$，并通过噪声信道将其传输给接收者。接收者的目标是从受损的码字 $w$ 中恢复出原始消息 $x$。传统的解码算法通常会处理整个受损码字 $w$，从而恢复出整个消息 $x$。

而局部解码的目标是仅恢复消息 $x$ 的少量比特，其优势在于只需查询受损码字 $w$ 的少量比特。恢复单个比特 $x$ 所需的 $w$ 的比特数 $q$ 称为查询复杂度。局部解码的关键在于平衡查询复杂度 $q$ 和码率 $r = k/N$。当 $q$ 为常数甚至是 $k$ 的对数时，已知的最佳码的码率会随着 $N$ 的增长而趋近于零。直到最近，才有少数已知的局部可解码码能在码率接近 1 且具有次线性局部性。本文将展示扩展器码可以提供一种新的构建方法，用于构建具有恒定速率的高效局部可解码码。

2. 符号和预备知识

• 线性码 ：我们将构建长度为 $N$、消息长度为 $k$ 的线性码 $C$，其字母表为 $\Sigma = F$，其中 $F$ 是某个有限域。即 $C \subset F^N$ 是一个维度为 $k$ 的线性子空间。码 $C$ 的码率为 $r = k/N$。
• 谱扩展器图 ：若 $d$ 正则图 $G$