74、平面布尔 CSP 带复权重问题的复杂度

平面布尔 #CSP 带复权重问题的复杂度

1. 引言

在计数问题的研究中，将问题的权重范围从实数域扩展到复数域，能增加可转化到框架内的问题集合。然而，对于复权重问题进行二分性研究在技术上更具挑战性。例如，多项式插值证明技术在复数域中会有无数个失败情况，对应着无数个单位根，这使得无法像在实数域那样进行暴力分析。因此，需要开发新的方法来绕过以往的插值证明。

2. 预备知识

• Holant 问题框架 ：Holant 问题是针对函数 ( [q]^k \to F )（其中 ( q ) 为有限值，( F ) 为某个域）定义的。在本文中，研究的是复权重布尔 Holant 问题，即所有函数为 ( [2]^k \to \mathbb{C} )，且从可计算性角度，函数取值需为复代数数。
  • 签名网格 ：签名网格 ( \Omega = (G, F, \pi) ) 由图 ( G = (V, E) ) 组成，每个顶点 ( v ) 标记有函数 ( f_v \in F )，( \pi : V \to F ) 为标记函数。若 ( G ) 是平面图，则称 ( \Omega ) 为平面签名网格。Holant 问题在实例 ( \Omega ) 上的目标是计算 ( \text{Holant} \Omega = \sum {\sigma} \prod_{v \in V} f_v(\sigma|_{E(v)}) )，其中 ( \sigma : E \to {0, 1} ) 是所有边赋值的总和。
  • 签名表示 ：函数 ( f