67、ℓ2/ℓ2 稀疏恢复与低风险及完全集的自归约性研究

ℓ2/ℓ2 稀疏恢复与低风险及完全集的自归约性研究

1. ℓ2/ℓ2 稀疏恢复相关基础概念

• 符号与图的定义 ：
  • 用 $[N]$ 表示集合 ${1, \ldots, N}$。设 $G : [N] \times [\ell] \to [M]$ 是一个 $\ell$-正则二部图，$M_G$ 是其邻接矩阵，后续会在图 $G$ 和矩阵 $M_G$ 之间灵活转换。
  • 对于任意子集 $S \subseteq [N]$，$\Gamma(S) \subseteq [M]$ 表示 $S$ 在图 $G$ 中的邻居顶点集合，$E(S)$ 表示与 $S$ 关联的边的集合。若对于所有满足 $|S| \leq t$ 的子集 $S \subseteq [N]$，都有 $|\Gamma(S)| \geq |S|\ell(1 - \varepsilon)$，则称二部图 $G$ 是一个 $(t, \varepsilon)$-扩张器。
• 稀疏恢复基础定义 ：
  • 对于向量 $x = (x_i) {i = 1}^N \in \mathbb{R}^N$，$H_k(x)$ 表示 $x$ 中 $k$ 个绝对值最大的坐标的集合，这些元素被称为重元素。满足 $i \in [N] \setminus H_k(x)$ 且 $|x_i| \geq \frac{\zeta^2\eta}{k} \cdot |z|_2$ 的元素被称为重尾元素，其中 $\zeta$ 和 $\eta$ 是根据上下文确定的常数。其余索引对应的元素称为轻尾元素，用 $L$