66、设施定位游戏与稀疏恢复问题研究

设施定位游戏与稀疏恢复问题研究

1. 设施定位游戏相关理论

在设施定位游戏的研究中，有几个关键的定理和概念值得关注。

首先是独裁联盟的概念，这在定理 3 的证明中起着核心作用。对于 3 - 位置实例，如果一个非空联盟 (C \subset N) 且 (|C| \leq |N| - 2)，对于 (N \setminus C) 的所有划分 (N_1, N_2) 以及所有实例 (x = (x_{1:N_1}, x_{:C}, x_{2:N_2}) \in I_3(N)) 都有 (x \in F(x))，则 (C) 是一个独裁联盟。引理 1 表明，对于 (n \geq 4) 个代理人的集合 (N)，如果存在一个 3 - 位置实例 (x = (x_{1:N_1}, x_{2:N_2}, x_{3:N_3}))，其中 (x_1 < x_2 < x_3) 且 (|N_2| \leq n - 3) 使得 (x_2 \in F(x))，那么任何包含 (N_2) 的联盟 (N_2’) 都是 3 - 位置实例的独裁联盟。对于 (n \geq 5) 个代理人，如果存在一个 3 - 位置实例，其中中间联盟被分配了一个设施，那么这个联盟包含一个唯一的代理人，该代理人对所有实例都起到独裁者的作用。

在将定理 3 扩展到 (n \geq 5) 个代理人的一般实例时，证明考虑了两种不同的情况，这取决于机制 (F) 在 3 - 位置实例中的表现，并通过对不同位置数量的归纳来进行。当 (F) 对于 3 - 位置实例存在一个独裁者 (j) 时，假设存在一个实例 (x = (x_1, \ldots, x_n) \in I(N)) 使得 (x_j \notin F(x))。通过策略证明性和一系列的操作，会得到一