63、多项式演算的理解：新的分离与下界

多项式演算的理解：新的分离与下界

1 引言

证明复杂性研究为命题逻辑中的重言式公式提供简洁证明的难度，即证明公式在任何真值赋值下都为真，且这些证明能在其大小的多项式时间内被验证。人们普遍认为，不存在一种证明系统，能始终找到大小至多为所证明公式大小的多项式的高效可验证证明。若能证明这一点，将确立 NP ≠ co - NP，进而得出 P ≠ NP。

证明复杂性的另一个重要动机是与应用 SAT 求解的联系。通过标准变换，任何命题逻辑公式 F 都可转换为合取范式（CNF）的公式 F’，F’ 与 F 大小相差常数因子，且 F’ 不可满足当且仅当 F 是重言式。任何 SAT 求解算法都定义了一个证明系统，其执行轨迹构成不可满足性的多项式时间可验证证据。

在 SAT 求解中，除了运行时间，内存消耗也是一个主要问题。在证明复杂性中，这两个资源分别由证明大小/长度和证明空间来建模。因此，了解这些复杂性度量及其相互关系很有趣，这种研究揭示了一些有趣的联系，对证明复杂性本身也有内在的研究价值。在这种背景下，自然会关注证明复杂性层次结构中相对较低层次的证明系统，这些系统可以或可能被用作 SAT 求解器的基础，如消解和多项式演算。

1.1 相关工作

• 消解证明系统 ：消解证明系统是最先进的基于冲突驱动子句学习（CDCL）的 SAT 求解器的基础。在消解中，从原始 CNF 公式的子句中推导出新的析取子句，直到得出矛盾。早期的一个突破是 Haken 获得的（次）指数级证明长度下界，后来在其他论文中确立了真正的指数级下界。Ben - Sasson 和 Wigderson 确定了宽度是一个关键资源，证明了宽度的强下界意味