62、线性Arrow - Debreu市场的组合多项式算法

线性Arrow - Debreu市场的组合多项式算法

在市场均衡问题的研究中，线性Arrow - Debreu市场的均衡价格计算是一个重要的课题。本文将详细介绍一种用于计算该市场均衡价格的组合多项式算法。

基本概念

• 价格表示 ：对于人员子集 $B’$ 或商品子集 $C’$，用 $p(B’)$ 或 $p(C’)$ 表示 $B’$ 中人员拥有的商品或 $C’$ 中商品的总价格。
• 向量范数 ：对于向量 $v = (v_1, v_2, …, v_k)$，$|v| = |v_1| + |v_2| + … + |v_k|$ 为 $v$ 的 $l_1$ - 范数，$|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + … + v_k^2}$ 为 $v$ 的 $l_2$ - 范数。
• 效用最大化 ：每个人为了最大化其效用，只会购买他们最喜欢的商品，即效用与价格比值最大的商品。定义每美元的效用为 $\alpha_i = \max_j{u_{ij}/p_j}$。
• 市场出清价格 ：经典的Arrow - Debreu定理表明，存在一个非零的市场出清价格向量，在该向量下，所有商品都被售出，每个买家都花光其所有资金以获得使其效用最大化的商品束。

平等图与剩余

• 平等图 ：对于当前价格向量 $p$，“平等图” 是一个流网络 $G = ({s, t} \cup B \cup C, E_G)$