47、新型倍增扩张器：更优且更简单

新型倍增扩张器：更优且更简单

1 预备知识

1.1 基本定义

• 设 $(X, d)$ 是一个包含 $n$ 个点的倍增度量空间，$1 ≤ k ≤ n - 2$ 是允许的最大故障节点数。我们考虑拉伸因子为 $1 + ϵ$ 的情况，其中 $0 < ϵ < \frac{1}{2}$ 是任意小的常数。假设 $X$ 中任意两点间的最小距离为 1，$\Delta := \max_{u,v∈X} d(u, v)$ 为 $X$ 的直径。
• 以点 $x$ 为中心、半径为 $r > 0$ 的球定义为 $B(x, r) := {u ∈ X : d(x, u) ≤ r}$。
• 若对于任意点 $x ∈ X$，都存在点 $y ∈ Y$ 使得 $d(x, y) ≤ r$，则称集合 $Y ⊆ X$ 是 $X$ 的一个 $r$ - 覆盖。
• 若对于集合 $Y$ 中任意两个不同的点 $y, y’$，都有 $d(y, y’) > r$，则称 $Y$ 是一个 $r$ - 填充。
• 对于 $r_1 ≥ r_2 > 0$，若集合 $Y ⊆ X$ 既是 $X$ 的 $r_1$ - 覆盖，又是 $r_2$ - 填充，则称 $Y$ 是 $X$ 的一个 $(r_1, r_2)$ - 网。这种网可以通过贪心算法构造。

1.2 关键事实

• 事实 1 ：设 $R ≥ 2r > 0$，$Y ⊆ X$ 是包含在半径为 $R$ 的球内的 $r$ - 填充，则 $|Y| ≤ (\frac{R}{r})^{2dim}$。 <