42、利用影子顶点算法在多面体上寻找短路径

利用影子顶点算法在多面体上寻找短路径

分析概述

在后续的讨论中，我们假定多面体 $P$ 是非退化的。也就是说，对于多面体 $P$ 的每个顶点 $x$，恰好存在 $n$ 个指标 $i$，使得 $a_{i}^{T}x = b_{i}$。这意味着，对于多面体 $P$ 中任意两个顶点 $x$ 和 $y$ 之间的边，恰好有 $n - 1$ 个指标 $i$，满足 $a_{i}^{T}x = a_{i}^{T}y = b_{i}$。

从影子顶点算法的描述可知，证明定理 1 的关键步骤在于界定从多边形 $P’$ 上 $\pi(x_1)$ 到 $\pi(x_2)$ 路径上的期望边数。为实现这一目标，我们关注该路径上各边的斜率。如前文所述，斜率序列呈单调递减趋势。我们将证明，由于目标函数 $w_1$ 和 $w_2$ 的随机性，斜率序列实际上以概率 1 严格递减，并且该路径上的所有斜率都有下界 0。

我们不直接计算从 $\pi(x_1)$ 到 $\pi(x_2)$ 路径上的边数，而是统计区间 $[0, 1]$ 内不同斜率的数量。我们发现，区间 $[0, +\infty)$ 内斜率的期望数量是区间 $[0, 1]$ 内斜率期望数量的两倍。为统计 $[0, 1]$ 内的斜率数量，我们把区间 $[0, 1]$ 划分为若干小子区间，并对每个子区间 $I$ 内的斜率期望数量进行界定。然后，利用期望的线性性质，得到区间 $[0, 1]$ 内不同斜率数量的上界，这直接转化为从 $\pi(x_1)$ 到 $\pi(x_2)$ 路径上期望边数的上界。

我们选取的子区间足够小，使得每个子区间以高概率最多包含一个斜率。这样，子区间 $I = (t, t + \varepsilon]$ 内斜率的期望数量近