不定积分

不定积分的定义

若在某个区间上， 函数 $F(x)$ 和 $f(x)$ 成立关系

$$F'(x) = f(x)$$
或等价的，
$$\mathrm {d} F(x) = f(x) \mathrm {d} x$$
则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在这个区间上的 一个原函数。

一个函数 $f(x)$ 的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作 $\int f(x) \mathrm {d} x$。

不定积分的线性性质

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数都存在，则 $\forall k_1, k_2 \in \mathbb R,$ 函数 $k_1 f(x) + k_2 g(x)$ 的原函数也存在，且有

$$\int [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \mathrm {d} x = k_1 \int f(x) \mathrm {d} x + k_2 \int g(x) \mathrm {d} x$$
证明：
设 $F(x)$ 和