Project Euler 31-35题

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本文介绍了Project Euler的第31到35题的数学问题及解题思路。第31题涉及组合硬币找零的动态规划；第32题寻找特定形式的数的和；第33题理解英文描述后解决分数问题；第34题找符合特定条件的阶乘和数；第35题求解回文素数的和。每道题都提供了解题策略和验证方法。

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第31题

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题目来源ProjectEuler

这一题求200可以由1，2，5，10，20，50，100，200以多少种不同的方式相加而成。
将硬币分别标记为f[1]=1;f[2]=2;f[3]=5;f[4]=10;f[5]=20;f[6]=50;f[7]=100];f[8]=200;
使用 $dp[i][j]$ 表示利用最大面额为f[j]的纸币组成i有多少种方法。
转移就是 $dp[i][j]+=\sum_{k=1}^{j}dp[i-f[j]][k]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[210][10];
int coin[10]={0,1,2,5,10,20,50,100,200,1000};

int main(){
    int n=200;dp[0][1]=1;
    for (int i=1;i<=200;i++){
        for (int j=1;coin[j]<=i;j++){
            for (int k=1;k<=j;k++){
                dp[i][j]+=dp[i-coin[j]][k];
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=10;i++) dp[200][0]+=dp[200][i];
    cout<<dp[200][0]<<endl;
    return 0;
}

第32题

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题目来源ProjectEuler

这个题要求寻找所有满足条件的数的和。条件为：将数x表示为 $x=a*b$ ，其中在十进制表示下构成x，a，b三个数的数字中1-9恰好出现一次且没有0。比如 $7254=39*186$ 。
枚举每个可能的数及其可能的因子，验证即可。这个数不可能超过四位数，因为五位数至少由一个二位数乘三位数或一位数乘四位数得到，这样就有十个数字。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool check(int i,int j){
    int x[10]={0};
    int k=i/j,cnt=0;
    while(k){
        if (x[k%10])    return false;
        else            x[k%10]=1;
        k/=10;cnt++;
    }
    while(j){
        if (x[j%10])    return false;
        else            x[j%10]=1;
        j/=10;cnt++;
    }
    while(i){
        if (x[i%10])    return false;
        else            x[i%10]=1;
        i/=10;cnt++;
    }
    return cnt==9&&x[0]==0;
}

int main(){
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=9999;i++){
        for (int j=2;j*j<=i;j++){
             if (i%j==0&&check(i,j)){
                 ans+=i;
                 break;
             }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

第33题

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题目来源ProjectEuler

这一题对我这个英语渣来说实在难以理解。用了各种翻译工具也没看懂，最后迫不得已翻了一下别人的博客才看懂题目。
这个题目求满足如下格式的分数 $\frac{\overline{ik}}{\overline{jk}}=\frac i j$ 或 $\frac{\overline{ik}}{\overline{kj}}=\frac i j$ 或 $\frac{\overline{ki}}{\overline{jk}}=\frac i j$ 或 $\frac{\overline{ki}}{\overline{kj}}=\frac i j$ ，且 $i,j,k$ 都不为零。其中 $\overline {ik}$ 表示 $i*10+k$ 这一两位数。
枚举ijk即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int fz=1,fm=1;
    for (int i=1;i<=9;i++){
        for (int j=i+1;j<=9;j++){
            for(int k=i;k<=9;k++){
                if (j*(i*10+k)==i*(j*10+k)){
                    fz*=i;
                    fm*=j;
                }
                else if (j*(i*10+k)==i*(k*10+j)){
                    fz*=i;
                    fm*=j;
                }
                else if (j*(k*10+i)==i*(j*10+k)){
                    fz*=i;
                    fm*=j;
                }
                else if (j*(k*10+i)==i*(k*10+j)){
                    fz*=i;
                    fm*=j;
                }
            }
        }
    }
    cout<<fm/__gcd(fz,fm)<<endl;
    return 0;
}

第34题

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题目来源ProjectEuler

这一题求所有在十进制表示下自身等于各位数字阶乘和的数的和。
考虑到 $9!=362880$ 所以这个数不会超过2,500,000，枚举验证即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[10];

bool check(int x){
    int tmp=x,ans=0;
    while(x){
        ans+=f[x%10];
        x/=10;
    }
    return ans==tmp;
}

int main(){
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=9;i++){
        f[i]=f[i-1]*i;
    }
    long long ans=0;
    for (int i=10;i<=2500000;i++){
        if (check(i)){
            ans+=i;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

第35题

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题目来源ProjectEuler

这一题求小于100w的这样的一种素数的和，即不论从哪一位开始读，将所有位依次读完后，得到的数总是素数，例如197，719，971。
先用线性筛求出所有素数，之后对每个素数进行验证。验证时利用线性筛遗留下来的标记数组，可以在 $\log n$ 的时间内完成验证。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1000000;
int prime[maxn+1],cnt;
int num[maxn+1];

bool check(int x){
    int mul=1;
    while(mul<=x)   mul*=10;
    mul/=10;
    int tmp=x;
    do{
        if (tmp%10==0)  return false;
        tmp=tmp/10+tmp%10*mul;
        if (num[tmp])   return false;
    }while(tmp!=x);
    return true;
}

int main(){
    int ans=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(num[i]==0)   {
            prime[++cnt]=i;
        }
        for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=maxn;j++){
            num[i*prime[j]]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if (check(prime[i])){
            cout<<prime[i]<<endl;
            ans++;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}