POJ 2479 最大子段和解题心得_7-49 最大子段和-优快云博客

问题描述：

给一串整数下标从1~n，找出两个子串（每个子串中的下标连续），下标分

别为s1~t1和s2~t2,其中1<=s1<=t2<s2<=t2<=n，问子串和最大为多少？

引：

求一串数中一个连续子串和最大值的DP解法为:

设原数组为a[]

令b[j]为以第j个元素结尾的字串和的最大值。只有两种情况：1.只有a[j] 2.a[j]

接在以a[j-1]结尾的字串后面

对于情况二的证明，可用反证法证明得，以a[j-1]结尾的子串和必为该状态的最大值

。

所以b[j]=max{a[j],b[j-1]+a[j]}

这样便求出了以每个元素结尾的字串和最大值，由于实际最大值字串必为其中之一，

再遍历一遍取其中最大值即可。

思路：

有了上述求一个子串最大值的解法，再推到求两个字串最大值的方法就很自然了。只

要从a[0]开始，依次取a[0],a[1].....为划分元素，

即s1<=t1<=a[x]<s2<=t2，并分别求最大值，并再这些最大值中再找最大值

证明如下，假设实际最优划分为s1,t1,s2,t2,t1<s2,可取划分元素为t1,则该最大值

必和以t1为划分元素时两边的最大值的和相等，否则矛盾。因此最优解必为n种划分

情况中的一种的最优解。

问题现在转化为，如何找到每种划分的最大值？其实只要分找两边字串各自的最大字

串和即可(反证法）

解法：

1.从头到尾遍历一遍，求出leftsum[x]

2.从尾到头遍历一遍，求出rightsum[x]

3.从头到尾遍历一遍，求出最大的和

步骤一和二中，要用中间变量b记录中间值。以步骤1为例，要先用b记录以a[i]（设

划分元素为a[i])结尾的最大字串和，再与leftsum[i-1]比较，即比较包括a[i]和不

包括a[i]的字串，找出最大值，即为a[0]~a[i]的所有字串的最大值。步骤二同理。

这个算法耗时O(n),是比较快的算法。我刚开始做的时候用了比较笨的方法，就是把

求一个字串最大和做成一个函数，再遍历数组同时调用这个函数来算leftsum和

rightsum。这样需耗时O(n2)，因为调用一次函数的代价为O(n)，结果超时了。。。

这题还有个小陷阱，就是这个最大和可能是负值，考虑全是负数的情况，但即便如此

算法最多只会算两个负数相加，题目中条件说元素的绝对值<=10000,因此sum的初始

值可赋-20000，保险起见可赋-60000,ok,这下可以AC了~~~

源代码如下：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
int T;
cin>>T;
int t,i,k;
for(t=0;t<T;t++) {
int n,sum=-60000,b; //注意sum可能小于0！！！（全是负数，但此时最多为两

个负数的和)
cin>>n;
int *a=new int[n];
int *lsum=new int[n];
int *rsum=new int[n];
for(i=0;i<=n-1;i++)
   scanf("%d",&a[i]);
lsum[0]=a[0];
rsum[n-1]=a[n-1];
b=a[0];
for(k=1;k<=n-1;k++) {
   if(b>0) b+=a[k];
   else b=a[k];
   if(b>lsum[k-1]) lsum[k]=b;
   else lsum[k]=lsum[k-1];
}
b=a[n-1];
for(k=n-2;k>=0;k--) {
   if(b>0)   b+=a[k];
   else b=a[k];
   if(b>rsum[k+1]) rsum[k]=b;
   else rsum[k]=rsum[k+1];
}
for(k=0;k<=n-2;k++)
   if(lsum[k]+rsum[k+1]>sum) sum=lsum[k]+rsum[k+1];
delete[] a;
delete[] lsum;
delete[] rsum;
cout<<sum<<endl;
}
return 0;
}