红黑树（Red-Black Tree）详解

红黑树（Red-Black Tree）详解

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树（BST），通过特定的规则维护平衡性，确保插入、删除、查找等操作的时间复杂度为 O(log n)。它广泛应用于高效数据结构的实现，如C++的std::map、Java的TreeMap等。

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红黑树的五大性质

红黑树必须满足以下性质，违反这些性质时会通过旋转和颜色调整重新平衡：

1. 颜色属性：每个节点是红色或黑色。
2. 根节点属性：根节点必须是黑色。
3. 叶子节点属性：所有叶子（NIL节点，空节点）均为黑色。
4. 红色节点规则：红色节点的子节点必须是黑色（即不允许连续红色节点）。
5. 黑高一致性：从任一节点到其所有叶子节点的路径中，黑色节点的数量（黑高）必须相同。

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红黑树 vs AVL树

特性	红黑树	AVL树
平衡严格度	较宽松	严格（左右子树高度差 ≤1）
插入/删除	旋转次数少，效率更高	可能频繁旋转
查找效率	略低（因平衡较松）	更高（严格平衡）
适用场景	频繁插入/删除（如内存数据库）	频繁查找（如字典）

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核心操作与调整策略

1. 插入操作

新节点默认红色（以最小化对黑高的破坏），插入后可能违反红黑树规则，需调整：

• Case 1：父节点为黑 → 直接插入，无需调整。
• Case 2：父节点为红，叔节点为红 → 父、叔变黑，祖父变红，递归向上处理。
• Case 3：父节点为红，叔节点为黑 → 通过旋转和颜色翻转调整：
  • LL/RR型：单次旋转（父节点与祖父节点交换颜色）。
  • LR/RL型：两次旋转（先子节点旋转，再父节点旋转）。

2. 删除操作

删除节点后，若被删节点为黑色，需修复黑高：

• Case 1：兄弟节点为红 → 旋转父节点，使兄弟变黑。
• Case 2：兄弟节点为黑，且兄弟的子节点均为黑 → 兄弟变红，问题上移。
• Case 3：兄弟节点为黑，且存在红色子节点 → 通过旋转和颜色调整恢复平衡。

3. 查找操作

与普通二叉搜索树相同，时间复杂度为 O(log n)。

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旋转操作

• 左旋（Left Rotation）：将右子节点提升为父节点，原父节点变为左子节点。
• 右旋（Right Rotation）：将左子节点提升为父节点，原父节点变为右子节点。

示例（左旋）：

   P                Q
  / \              / \
 A   Q    →       P   C
    / \          / \
   B   C        A   B

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红黑树的应用场景

1. 数据库索引：如MySQL的InnoDB引擎使用红黑树维护磁盘数据索引。
2. 语言标准库：
   • C++：std::map、std::set。
   • Java：TreeMap、TreeSet。
3. 实时系统：因操作时间稳定，适用于任务调度等场景。

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代码示例（插入调整伪代码）

def insert_fix(node):
    while node.parent is RED:
        if parent == grandparent.left:
            uncle = grandparent.right
            if uncle.color == RED:
                # Case 1: 父和叔均为红
                parent.color = BLACK
                uncle.color = BLACK
                grandparent.color = RED
                node = grandparent
            else:
                if node == parent.right:
                    # Case 2: LR型，先左旋父节点
                    left_rotate(parent)
                    node = parent
                # Case 3: LL型，右旋祖父并调色
                parent.color = BLACK
                grandparent.color = RED
                right_rotate(grandparent)
        else:
            # 对称处理右子树情况...
    root.color = BLACK  # 确保根节点为黑

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总结

红黑树通过颜色标记和旋转策略，在插入、删除时以较低代价维持近似平衡，成为工程中高效数据结构的首选。理解其核心性质与调整规则，是掌握高级算法与系统设计的关键基础。