数据结构与算法第一章1.5小题证明

最新推荐文章于 2025-11-20 19:10:04 发布

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#数据结构 #算法

这篇博客详细展示了如何通过构造函数f(X)=2^X-X并分析其单调性来证明log2(X)小于X乘以log2(X)，进而小于X。关键步骤包括求导、判断极值点和验证结论对所有X>0成立。

                    
                    证明 log2(X)<Xlog_2(X)<Xlog2​(X)<X

证明：

<=>log2(X)<log2(2X)<=>log_2(X)<log_2(2^X)<=>log2​(X)<log2​(2X)

<=>2X−X>0<=>2^X-X>0<=>2X−X>0

只要证明对于所有的X>0X>0X>0,都有2X−X>02^X-X>02X−X>0即可。

令f(X)=2X−Xf(X)=2^X-Xf(X)=2X−X,求导得到f′(x)=2Xln2−1f'(x)=2^Xln2-1f′(x)=2Xln2−1,这个函数是增函数，但是f′(0)=ln2−1<0f'(0)=ln2-1<0f′(0)=ln2−1<0,所以f(X)f(X)f(X)先减后增。f(X)f(X)f(X)的最小点在f′(X)=0f'(X)=0f′(X)=0上，这时X=−log2ln2X=-log_2ln2X=−log2​ln2,带入f(X)f(X)f(X)得到f(−log2ln2)=1/(ln2)+log2ln2>0f(-log_2ln2)=1/(ln2)+log_2ln2>0f(−log2​ln2)=1/(ln2)+log2​ln2>0,所以对于所有的X>0X>0X>0,都有2X−X>02^X-X>02X−X>0，则log2(X)<Xlog_2(X)<Xlog2​(X)<X
证明 log(AB)=BlogAlog(A^B)=BlogAlog(AB)=BlogA