31、单层神经网络：感知机与自适应线性元件的深入解析

单层神经网络：感知机与自适应线性元件的深入解析

1. 感知机模型

感知机是一种用于二分类的单层神经网络模型，其输入模式属于两个类别之一。感知机的主要目的是调整权重，使得所有输入模式都能被正确分类，但这仅在两类数据线性可分时才能实现。从几何角度看，感知机算法会找到一个超平面来分隔这两个类别。训练完成后，未知类别的输入模式可以通过判断其位于超平面的哪一侧来进行分类。

1.1 拓扑结构

感知机是一个单神经元模型，输入向量的每个分量 (x_i) 与对应的权重 (w_i) 相乘，这些乘积相加得到净线性输出，再通过海维赛德函数（Heaviside function）得到激活值，激活值为 1 或 -1，具体公式如下：
[
a = f(net) =
\begin{cases}
1, & \text{if } net \geq 0 \
-1, & \text{if } net < 0
\end{cases}
]
输入向量 (X = (x_1, x_2, \ldots, x_n, 1))，额外的分量 1 对应额外的权重分量 (w_{n + 1})，它代表感知机的阈值。

1.2 学习过程

感知机的学习是有监督的，输入模式会循环呈现给感知机，呈现顺序并不重要。对于输入模式 (X)，误差计算为目标输出与激活值之间的差值。权重更新公式如下：
[
w_i(k + 1) = w_i(k) + \alpha E(k)x_i(k)
]
其中 (k) 是迭代计数器，(\alpha > 0) 是学习率（一个正常数），(E(k)