20、双电机代数 $G_{6,0,2}^+$ 与几何代数 $G_{6,3}$ 详解

双电机代数 $G_{6,0,2}^+$ 与几何代数 $G_{6,3}$ 详解

1. 双电机代数 $G_{6,0,2}^+$

在研究刚体动力学时，双电机代数 $G_{6,0,2}^+$ 有着重要的应用。这里涉及到一些关键的概念和公式。

1.1 惯性映射

惯性矩阵将速度映射为动量。设 $\mathbf{I}$ 是 $3\times3$ 的惯性矩阵，$\mathbf{I} 3$ 是单位矩阵，$m$ 是物体的质量，$\mathbf{c}$ 是质心的位置向量，可表示为反对称矩阵 $[\mathbf{c}] {\times}$ 以计算叉积。由于 $G_{6,0,2}$ 没有像 $G_{3,3}$ 或 $G_{6,3}$ 那样足够的零向量，不能像在第 3.7 节那样用二向量将 $\mathbf{N}$ 表示为仿射变换。惯性映射可以用 6D 向量表示：
[
\begin{bmatrix}
q_x \
q_y \
q_z \
p_x \
p_y \
p_z
\end{bmatrix}
= \mathbf{N}
\begin{bmatrix}
w_x \
w_y \
w_z \
v_x \
v_y \
v_z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{I}\mathbf{w} + m\mathbf{c} \times \mathbf{v} \
m(\mathbf{c} \times \mathbf{w} + \mathb