21、傅里叶分析：从基础到应用

傅里叶分析：从基础到应用

1. 离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换（DFT）是针对仅在间隔为采样时间 T 的 N 个时刻已知的信号的傅里叶变换。在实际应用中，由于通常无法连续观测信号，所以 DFT 十分常用。它能将函数的有限等间隔样本序列转换为离散时间傅里叶变换（DTFT）的等间隔样本序列，DTFT 是频率的复值函数，复值函数在复平面（或复平面的子区域）上定义并取复数值，具有实部和虚部。

1.1 DFT 的定义与应用

DFT 是最重要的离散变换，在多个实际应用中用于进行傅里叶分析。例如在图像处理中，样本可以是图像一行或一列像素的值。此外，它还能有效求解偏微分方程，执行卷积或大整数乘法等操作。

序列 f[k] 的 DFT 定义为：
[F[n] = \sum_{k=0}^{N - 1} f[k]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}, \quad n = 0, \ldots, N - 1]

该公式也可写成矩阵形式：
[\begin{bmatrix}
F[0] \
F[1] \
F[2] \
F[3] \
\vdots \
F[N - 1]
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \
1 & W & W^2 & W^3 & \cdots & W^{N - 1} \
1 & W^2 & W^4 & W^6 & \cdots & W^{N - 2} \
1 & W^3 & W^6 & W^9 & \cdots & W^{N - 3} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
1 & W^{N - 1} & W^{N - 2} & W^{N - 3} & \cdots & W
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f[0] \
f[1] \
f[2] \
f[3] \
\vdots \
f[N - 1]
\end{bmatrix}]
其中 (W = \exp(-j\frac{2\pi}{N}))，由于 (W^N = 1)，各列是初始列的幂次。在线性代数中，这是一种特殊的范德蒙矩阵，与向量相乘是非常快速的操作。

1.2 逆 DFT

对应于上述 DFT 的逆 DFT 定义为：
[f[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N - 1} F[n]e^{j\frac{2\pi}{N}nk}, \quad k = 0, \ldots, N - 1]

同样可以将其写成矩阵形式，此时逆矩阵是原矩阵的复共轭乘以 (\frac{1}{N})。在进行逆变换时，(F[n]) 和 (F[N - n]) 项组合产生两个频率分量，通常只考虑较低频率的那个分量。

2. 快速傅里叶变换（FFT）方法

在数字计算机上计算 DFT 所需的时间取决于乘法运算的数量，因为乘法是计算开销较大的操作。对于 DFT，乘法数量与 (N^2) 成正比（向量的矩阵乘法），其中 N 是变换的长度。为了对所考虑序列的频谱有合理的近似，大多数问题中 N 至少选择为 256，因此计算速度成为主要考虑因素。

2.1 FFT 的原理

快速傅里叶变换（FFT）算法是用于估计 DFT 的高效计算机算法。标准 DFT 涉及大量冗余计算，FFT 算法正是基于这一事实进行优化。例如，DFT 公式可重写为：
[F[n] = \sum_{k=0}^{N - 1} f[k]W_N^{nk}, \quad n = 0, \ldots, N - 1]
其中 (W = \exp(-j\frac{2\pi}{N}))。在计算过程中，(W_N^{nk}) 的相同值会被多次计算。

2.2 FFT 在金融中的应用

傅里叶反演在期权定价文献中首次出现于 Heston（1993）的随机波动率建模工作，此后变得越来越普遍。这是因为解析公式难以计算，且仅在最简单的模型中可行。FFT 允许我们以 (O(N \log N)) 的复杂度高效计算以下形式的和：
[W_m = \sum_{j = 1}^{N} \exp\left(\frac{2\pi i(j - 1)(m - 1)}{N}\right)x_k]

傅里叶变换方法与 Lévy - Khintchine 公式自然相关，分布 (\mu) 的特征函数对应于密度函数的傅里叶变换。在金融领域，由于缺乏封闭形式的密度函数知识以及无法获得期权价格的封闭形式表达式，傅里叶变换方法在指数 Lévy 过程的背景下变得流行。

2.3 相关定理

定理 18.1

设 (f) 是一个函数 (f: \mathbb{R} \to \mathbb{R})，连续且在 (L^1(\mathbb{R})) 中有界，并且 (F(f) \in L^1(\mathbb{R}))，则
[E[f(X_t)] = F^{-1} \tilde{f} \phi_{X_t}(.)]_0]
其中 (F) 表示傅里叶变换算子，(\tilde{f}(x) = f(-x))。该定理允许我们从 (X_t) 密度的傅里叶变换（其特征函数）计算通常表示为最终收益 (f) 期望的期权价值。

定理 18.2

定义截断时间价值期权为：
[z_T(k) = E[(e^{X_T} - e^k)^+] - (1 - e^k)^+]
对于指数鞅 (e^{X_T}) 且 (E[e^{(1 + \alpha)X_T}] < \infty)，期权时间价值的傅里叶变换定义为：
[\zeta_T(v) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ivk}z_T(k)dk = \frac{e^{ivrT}\Phi_T(v - i) - 1}{iv(1 + iv)}]
期权价格由下式给出：
[C(t, x) = x\left[(1 - e^{kt}) + \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \zeta_T(v)e^{-ivkt}dv\right]]

3. 动态傅里叶分析

3.1 时间域与频率域

一个物理过程可以在时间域或频率域进行描述。在时间域中，通过某个量 (f) 随时间 (t) 的变化值（如 (f[t])）来描述；在频率域中，通过给出其振幅 (H)（通常为复数）作为频率 (n) 的函数（即 (F[n])，(-\infty < n < \infty)）来描述。对于许多应用，将 (f[t]) 和 (F[n]) 视为同一函数的两种不同表示形式是很有用的。

这两种表示形式通过傅里叶变换公式相互关联：
[F[n] = \int_{-\infty}^{\infty} f[t]e^{2\pi int} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f t dt]
[f[t] = \int_{-\infty}^{\infty} F[n]e^{-2\pi int} dn]
其中 (F[n]) 是傅里叶变换，将数据从时间域转换到频率域；(f[t]) 是逆傅里叶变换，将频率域分量转换回原始时间域信号。频率域图显示了信号在给定频率范围内每个频率带内的含量。

3.2 平稳性假设

为了使用傅里叶变换分析统计时间序列，需要假设生成观测值的统计或随机过程的结构是时间不变的，这一假设总结为平稳性条件，即其有限维分布在整个时间内保持不变。由于该条件难以验证，通常采用弱平稳性条件。例如，时间序列 (x_t) 是弱平稳的，如果其二阶行为在任何时间 (t) 都保持不变。从傅里叶变换表示可以看出，平稳序列可以表示为在不同频率上振荡的正弦和余弦的叠加，因此平稳时间序列可以与其正弦和余弦序列表示相匹配。

3.3 动态傅里叶分析的相关定义

3.3.1 加窗（Tapering）

在实际中，计算连续傅里叶变换及其逆变换是一个难题。因此，当观察到来自连续时间过程的有限离散时间序列时，通常使用 DFT。但应用 DFT 需要额外的加窗步骤。

当原始函数（过程）不连续时，相应的信号值会突然跳跃，导致频谱泄漏（即输入信号在 DFT 时间窗口内未完成整数个周期）。为了执行 DFT，需要将有限采样的时间序列乘以一个窗函数（“加窗函数”）。加窗函数是一个在每个窗口边缘平滑衰减到零的函数，旨在通过减小时间序列的幅度，使其在窗口边缘接近零，从而最小化不连续性的影响。虽然无法防止频谱泄漏，但可以通过改变加窗函数的形状来显著减少它。在地震数据分析中，常用余弦加窗函数，其表达式为：
[c(t) =
\begin{cases}
\frac{1}{2}(1 - \cos\frac{\pi t}{a}), & 0 \leq t \leq a \
1, & a \leq t \leq (1 - a) \
\frac{1}{2}(1 - \cos\frac{\pi}{a}(1 - t)), & (1 - a) \leq t \leq 1
\end{cases}]
其中 (t) 是时间，(a) 是加窗比例。余弦窗口试图在不显著降低窗口内值的水平的情况下，平滑地将数据在边界处设置为零。这种加窗形式减少了频谱功率从频谱峰值泄漏到远处频率的情况，并将频谱分辨率降低了 (\frac{1}{1 - a}) 倍。

加窗的一般效果如下：
1. 使时间序列在开始和结束时的幅度减小到零或接近零，从而避免周期时间序列中第一个和最后一个点之间的尖锐不连续性。
2. 改变时间序列中样本的权重，使靠近中间的样本对傅里叶变换的贡献更大。
3. 通过平均相邻样本降低频谱的分辨率。

对于非平稳时间序列信号，即使加窗函数进行了归一化，加窗也可能会使频谱幅度产生偏差。因此，对于非平稳时间序列，通常不建议使用傅里叶变换。

一般来说，很难针对所有具体情况给出关于使用哪种加窗函数的精确建议。Bingham 等人（1967）建议通过增加时间窗口的长度 N 并同时减小加窗比例 a，使余弦半钟形的长度（Na）保持不变，以减少泄漏。在实践中，对于 30 或 60 秒的窗口长度，a = 5% 对于低至 0.2 Hz 的频率已经足够。

3.3.2 Daniell 核估计

这是一种用于估计傅里叶变换中频率系数的概率方法。一个平稳过程 (X_t) 可以定义为以下线性组合的形式：
[X_t = \sum_{j = 1}^{m} (A_j \cos(2\pi\lambda_j t) + B_j \sin(2\pi\lambda_j t))]
其中 (0 \leq \lambda \leq \frac{1}{2}) 是固定常数，(A_1, B_1, A_2, B_2, \ldots, A_m, B_m) 是均值为零且相互不相关的随机变量，且 (Var(A_j) = Var(B_j) = \sigma_j^2)。假设 (\sum_{j = 1}^{m} \sigma_j^2 = \sigma^2)，使得过程 (X_t) 的方差为 (\sigma^2)，并让频谱密度 (f(\lambda)) 满足方程 (\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(\lambda)d\lambda = \sigma^2)。当 (m \to \infty) 时，上述过程收敛到具有频谱密度 (f) 的平稳过程。

为了估计频谱密度 (f)，定义估计量为周期图值（I）在频率范围 ((j - m)/n) 到 ((j + m)/n) 内的加权平均值：
[\hat{f}(j/n) = \sum_{k = -m}^{m} W_m(k)I\left(\frac{j + k}{n}\right)]
权重集 ({W_m(k)}) 的和为 1，通常称为核或频谱窗口。本质上，具有参数 m 的这个核是一个中心移动平均，通过对时间 (t - m) 到 (t + m) 之间（包括这两个时间点）的所有值进行平均，在时间 t 处创建一个平滑值。

定义权重为：
[W_m(k) = \frac{1}{2m + 1}, \quad -m \leq k \leq m]
且 (\sum_{k} W_m(k) = 1)，(\sum_{k} kW_m(k) = 0)。

对于 (m = 1) 的 Daniell 核，平滑公式 ({u_t}) 对应于三个权重 ((\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}))，即：
[\hat{u} t = \frac{1}{3}(u {t - 1} + u_t + u_{t + 1})]

再次对平滑值 ({\hat{u} t}) 应用 Daniell 核会通过在更宽的时间间隔上进行平均来产生更广泛的平滑效果，定义为：
[\tilde{u}_t = \frac{\hat{u} {t - 1} + \hat{u} t + \hat{u} {t + 1}}{3} = \frac{1}{9}u_{t - 2} + \frac{1}{9}u_{t - 2} + \frac{3}{9}u_t + \frac{2}{9}u_{t + 1} + \frac{1}{9}u_{t + 2}]

应用 Daniell 核会将频谱窗口转换为高斯概率密度函数的形式。

4. 傅里叶变换的应用

4.1 金融回报功率谱建模

使用动态傅里叶变换技术来估计每日和每分钟采样的金融股票市场回报的功率谱。估计功率谱对于表征对应于不同频率的分钟和每日数据非常有效，这种建模技术有助于表征平稳时间序列的一些关键变量，对于在股票市场中做出明智决策（如评估市场金融风险）非常有用。

分析的数据包括 2008 年 3 月 10 - 14 日（合并公告前的五个交易日）以及 3 月 17 日及之后（事件发生后的两个交易日）的数据。分析了四家公司：Discover Financial Services（Discover）、Microsoft Corporation（Microsoft）、Walmart（Walmart）和 JPMorgan Chase（JPM）。数据为金融回报值。

分析过程如下：
1. 对数据的短片段进行动态傅里叶分析。
2. 移动该片段，对新片段进行分析。
3. 重复上述过程，直到时间序列结束。

分析中，变量 (X_t) 表示金融时间序列的观测值，其中 (t = 1, \ldots, 2048)，分析的数据段为 ({X_{tk + 1}, \ldots, X_{tk + 256}})，其中 (t_k = 128k)，(k = 0, 1, \ldots, 14)。分析通过开发 R 统计模块进行。

4.2 分析结果

分析结果如下表所示：

公司	频率范围 (Hz)	每日数据功率百分比	每分钟数据功率百分比
Discover	0 - 2	15.96	19.82
	2 - 4	21.80	27.81
	4 - 6	18.82	12.99
	6 - 8	18.65	6.800
	8 - 10	24.75	32.52
JPM	0 - 2	11.62	17.81
	2 - 4	26.29	23.20
	4 - 6	21.86	11.90
	6 - 8	20.91	16.90
	8 - 10	19.32	30.08
Microsoft	0 - 2	16.49	15.54
	2 - 4	12.46	19.84
	4 - 6	19.64	18.33
	6 - 8	30.53	24.72
	8 - 10	20.86	21.54
Walmart	0 - 2	15.96	11.90
	2 - 4	21.80	24.00
	4 - 6	18.82	18.799
	6 - 8	18.65	18.95
	8 - 10	24.75	26.24

从结果可以看出，每日和每分钟数据的功率谱在较低水平（较高频率）都非常高，这与 Beccar - Varela 等人（2017）分析高频时间序列的结果一致。每分钟数据的回报序列在功率谱中比每日回报有更多的峰值，这些峰值反映了市场的波动性，因此功率谱可用于追踪市场波动性，反映市场状态，包括金融收益或损失。

4.3 总结

傅里叶分析在多个领域都有重要应用，从信号处理到金融市场分析。离散傅里叶变换和快速傅里叶变换为处理离散信号提供了有效的工具，而动态傅里叶分析则为分析时间序列提供了强大的方法。在金融领域，傅里叶变换方法有助于理解金融市场的波动和风险，为投资决策提供有价值的信息。

通过以上内容，我们对傅里叶分析的基本概念、算法和应用有了更深入的了解，希望这些知识能帮助读者在实际应用中更好地运用傅里叶分析技术。

5. 傅里叶变换应用的拓展与思考

5.1 不同领域的潜在应用

傅里叶变换的应用不仅仅局限于金融领域，在其他众多领域也有着广泛的应用前景。以下是一些常见领域的潜在应用分析：
1. 音频处理 ：在音频信号处理中，傅里叶变换可以将音频信号从时间域转换到频率域，从而实现音频的降噪、滤波、音调调整等操作。例如，通过分析音频信号的频率成分，可以去除特定频率的噪声，提高音频的质量。
2. 图像处理 ：在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的增强、压缩、特征提取等。例如，通过对图像进行傅里叶变换，可以分析图像的频率特征，从而实现图像的锐化、模糊等处理。
3. 通信领域 ：在通信领域，傅里叶变换可以用于信号的调制、解调、信道估计等。例如，在无线通信中，通过对信号进行傅里叶变换，可以分析信号的频率特性，从而实现信号的调制和解调。

5.2 傅里叶变换的局限性与挑战

尽管傅里叶变换在许多领域都有着广泛的应用，但它也存在一些局限性和挑战：
1. 平稳性要求 ：傅里叶变换要求信号是平稳的，即信号的统计特性不随时间变化。然而，在实际应用中，许多信号是非平稳的，例如语音信号、地震信号等。对于非平稳信号，傅里叶变换的分析结果可能不准确。
2. 频谱泄漏问题 ：在进行傅里叶变换时，如果信号在时间窗口内没有完成整数个周期，就会导致频谱泄漏问题。频谱泄漏会使信号的频率成分扩散到其他频率上，从而影响分析结果的准确性。
3. 计算复杂度 ：对于大规模的信号处理问题，傅里叶变换的计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源和时间。因此，在实际应用中，需要采用高效的算法来降低计算复杂度。

5.3 应对策略与发展趋势

为了克服傅里叶变换的局限性和挑战，研究人员提出了许多应对策略和发展趋势：
1. 时频分析方法 ：为了处理非平稳信号，研究人员提出了时频分析方法，例如短时傅里叶变换、小波变换等。时频分析方法可以同时分析信号的时间和频率特性，从而更准确地描述信号的特征。
2. 窗函数设计 ：为了减少频谱泄漏问题，研究人员提出了各种窗函数设计方法，例如汉宁窗、海明窗等。窗函数可以使信号在时间窗口内平滑地过渡到零，从而减少频谱泄漏的影响。
3. 快速算法优化 ：为了降低傅里叶变换的计算复杂度，研究人员提出了许多快速算法，例如快速傅里叶变换（FFT）、分块傅里叶变换等。这些快速算法可以大大提高傅里叶变换的计算效率。

6. 傅里叶分析的操作流程总结

6.1 离散傅里叶变换（DFT）操作流程

1. 数据准备 ：获取需要进行分析的离散信号序列 (f[k])，确定序列的长度 (N)。
2. 计算 (W) 值 ：根据公式 (W = \exp(-j\frac{2\pi}{N})) 计算 (W) 的值。
3. 构建矩阵 ：根据 DFT 的矩阵形式，构建范德蒙矩阵。
4. 矩阵乘法 ：将范德蒙矩阵与信号序列向量相乘，得到 DFT 结果 (F[n])。
5. 逆 DFT 操作（可选） ：如果需要将 DFT 结果转换回原始信号，可以根据逆 DFT 的定义和矩阵形式进行计算。

6.2 快速傅里叶变换（FFT）操作流程

1. 数据准备 ：获取需要进行分析的离散信号序列 (f[k])，确定序列的长度 (N)。
2. 选择 FFT 算法 ：根据具体需求选择合适的 FFT 算法，例如基 - 2 FFT 算法、基 - 4 FFT 算法等。
3. 算法实现 ：根据选择的 FFT 算法，实现 FFT 计算。
4. 结果处理 ：对 FFT 计算结果进行处理，例如计算频谱、相位等。

6.3 动态傅里叶分析操作流程

1. 数据准备 ：获取需要进行分析的时间序列数据 (X_t)。
2. 平稳性检验 ：对时间序列数据进行平稳性检验，如果数据是非平稳的，需要进行预处理，例如差分、对数变换等。
3. 加窗处理（可选） ：如果数据存在不连续性，需要进行加窗处理，选择合适的窗函数，例如余弦窗函数。
4. 动态分析 ：对数据的短片段进行动态傅里叶分析，移动片段并重复分析，直到时间序列结束。
5. 结果分析 ：对动态傅里叶分析的结果进行分析，例如计算功率谱、频率成分等。

7. 总结与展望

7.1 傅里叶分析的重要性

傅里叶分析作为一种强大的数学工具，在信号处理、图像处理、通信、金融等众多领域都有着广泛的应用。通过将信号从时间域转换到频率域，傅里叶分析可以揭示信号的频率特征，从而实现信号的分析、处理和优化。

7.2 未来发展方向

随着科技的不断发展，傅里叶分析也在不断地发展和创新。未来，傅里叶分析可能会朝着以下几个方向发展：
1. 多尺度分析 ：结合小波变换等多尺度分析方法，实现对信号的更精细分析。
2. 深度学习融合 ：将傅里叶分析与深度学习相结合，实现更智能的信号处理和分析。
3. 实时处理 ：提高傅里叶变换的计算效率，实现信号的实时处理和分析。

7.3 对读者的建议

对于想要深入学习傅里叶分析的读者，建议从基本概念入手，逐步掌握傅里叶变换的原理和算法。同时，要注重实践，通过实际案例来加深对傅里叶分析的理解和应用。此外，还可以关注傅里叶分析的最新研究成果，不断拓宽自己的知识面和视野。

通过以上内容，我们对傅里叶分析的应用拓展、局限性、操作流程以及未来发展方向有了更全面的了解。希望这些信息能够帮助读者更好地运用傅里叶分析技术，解决实际问题。

流程图：傅里叶分析操作总流程

graph LR
    A[数据准备] --> B{信号类型}
    B -->|离散信号| C[离散傅里叶变换（DFT）]
    B -->|离散信号且需高效计算| D[快速傅里叶变换（FFT）]
    B -->|时间序列数据| E[动态傅里叶分析]
    C --> F[结果分析]
    D --> F
    E --> F
    E --> G[平稳性检验]
    G -->|非平稳| H[预处理]
    H --> E
    E --> I[加窗处理（可选）]
    I --> E

表格：不同傅里叶变换方法对比

方法	适用信号类型	计算复杂度	主要应用场景	局限性
离散傅里叶变换（DFT）	离散信号	(O(N^2))	一般离散信号处理	计算复杂度高
快速傅里叶变换（FFT）	离散信号	(O(N \log N))	大规模离散信号处理	对信号长度有要求
动态傅里叶分析	时间序列数据	取决于具体分析方法	时间序列分析	对平稳性有要求