19、图灵机的自适应功能加密方案解析

图灵机的自适应功能加密方案解析

1. 引言

当代基于云的计算系统对加密方案的要求远超传统的通信安全。功能加密（FE）作为一种强大的加密形式应运而生，它允许用户凭借与函数 (f) 关联的密钥，从 (x) 的加密信息中恢复出 (f(x))，并且直观的安全保证是用户只能获取 (f(x)) 的信息。

过往的功能加密研究存在诸多局限性。早期的构造仅考虑有限的函数，如内积。后来虽有允许更通用函数的构造，但多针对电路表示的函数，且存在两个主要弊端：一是电路表示会采用每个输入的最坏情况运行时间；二是函数的输入长度是先验有界的，这在处理大型数据集时不合理。

本文致力于解决“是否可以对任意图灵机描述的函数进行功能加密”这一基本问题，并构建了一个基于电路不可区分混淆（iO）的自适应安全功能加密方案，该方案具有以下特性：
- 发行的功能密钥数量没有先验限制。
- 秘密密钥对应图灵机。
- 实现自适应安全。
- 明文长度和图灵机大小没有先验限制。
- 加密运行时间与图灵机大小无关，密钥生成运行时间与明文大小无关。

2. 初步目标与挑战

为了实现图灵机的自适应功能加密，先从最简单的场景入手，即敌手只能进行单条密文查询和函数查询的私钥设置，这种方案被称为 1 - CT 1 - Key 私钥 FE。

在构建该方案时，借鉴了电路功能加密中使用的随机编码（RE）工具。随机编码是函数和输入的一种表示，计算更简单且只揭示函数输出。然而，对于 1 - CT 1 - Key FE 方案，随机编码需要具备两个额外特性：
- 可分别对函数和输入进行计算编码，即给定 (f) 能计算 (\hat{f})，给定