非固定边界网格参数化(ARAP)

本文介绍了一种非固定边界的网格参数化方法,并详细记录了实现过程。该方法通过最小化能量函数来求解参数化后坐标U,具体包括求解Lt和U两步。此外,还讨论了初始参数化取值对结果的影响。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

非固定边界的网格参数化方法。

   记录自己的实现过程,一方面可能对其他人有用,另一方面自己保存。

1、首先实现固定边界的网格参数化方法,参考如下论文

M. Floater. Parameterization and smooth approximation ofsurface triangulations. CAGD, 1997.

2、非固定边界的网格参数化方法,先看如下论文:  

 Ligang Liu, Lei Zhang, Yin Xu, Craig Gotsman, StevenJ. Gortler. A local/global approach to mesh parameterization. Computer GraphicsForum (Proceedings of the Symposium on Geometry Processing (SGP '08)),1495-1504.

 从论文中可以得出对参数化后坐标U的求解实际上就是最小化如下能量函数,包含Lt和U两个未知参量:

     
  • 求解Lt :首先将原三维网格中的三角形(1,2,3.... t)进行全等变换到平面上,每个三角形单独变,不需要考虑彼此之间的坐标,得到Xt(Xt0,Xt1,Xt2)是三角形每个点全等变换后的坐标。这里Xti(i=0,1,2)都是2*1的矩阵,代表三角形在二维平面的坐标。然后取第一步中固定边界参数化的方法得到的二维平面结果Ut (Ut0 , Ut1, Ut2)为启动的坐标,此时对每个三角形t我们分别有Xt 和 Ut这两种坐标,从Xt到Ut对应着一个jacobi变换矩阵Jt,对每个三角形都是不同的,所以对每个三角形进行单独求解。求解方法如下:

       

         对应的每个符号的意义论文中相应位置都由解释。

         将St(u)进行SVD分解

             

        再计算对应的Lt

              

  • 求解U:  

       将能量函数用半边数据结构进行描述得到

       

    然后将上式对U求导得到:

   

   然后按此式构建相应的稀疏矩阵方程组即可。


  • 加入加权系数:

      此时能量函数的表达为:

      

其中

        

 然后按论文中附录的方法进行求解at,bt,然后用a b构成的矩阵将Lt换掉即可。

结果图:

                     

注意:若没有得到相应的结果,将C2表达式中的‘+’换成‘-’,C3中的‘-’换成‘+’,因为感觉论文中不应取(a,b;-b,a)

作为变换矩阵,而是取(-a,b;b,a)。

此外

关于initialparameterization 取值对结果没有影响的思考:

   不同的参数化得只是到的jacobi矩阵Jt不同,将Jt进行SVD分解后,只取了U和V来得到Lt,而控制矩阵“膨胀”比的奇异值被舍去或者进行取平均,相当于消去了不同参数化方法中不同的部分只保留了相同的部分,所以最终的结果基本相同。



   

### 网格参数化的概念 网格参数化是一种将三维三角网格映射到二维平面上的技术。这一过程的目标是在保持拓扑结构不变的情况下,尽可能减少几何变形[^1]。由于曲率的存在,在三维空间中的形状无法完美地展平到二维平面而不发生任何变形,因此参数化的核心在于寻找一种最优的映射方式来最小化这种变形[^2]。 --- ### 常见的网格参数化方法 #### 1. **Tutte's Embedding** Tutte's Embedding 是一种经典的参数化方法,它通过构建一个基于图论的嵌入方案来实现参数化。该方法假设输入网格是一个连通且无环的图,并利用线性方程组求解顶点在二维平面上的位置。这种方法的优点是能够保证参数域上的三角形不重叠,但在处理具有高曲率区域时可能引入较大的面积或角度失真。 #### 2. **Orbifold Tutte Embeddings** 这是一种改进版的 Tutte 参数化方法,适用于更复杂的网格模型。与传统方法不同的是,Orbifold Tutte 不需要输入网格严格满足与圆盘同胚的要求。这使其更适合于处理带有奇异点或复杂拓扑结构的表面[^3]。 #### 3. **Least Squares Conformal Maps (LSCM)** LSCM 方法旨在找到一种保角变换(conformal mapping),即尽量保留局部的角度关系。此方法通过对目标函数进行优化以达到全局能量最小化的目的。尽管 LSCM 能够很好地控制角度失真,但它可能会牺牲部分面积一致性。 #### 4. **ARAP (As-Rigid-As-Possible)** ARAP 方法试图使每个三角形单元在其映射过程中保持刚体运动特性,从而最大程度地减小整体变形量。相比其他技术而言,ARAP 更加注重维持原始几何特征的真实性,但计算成本相对较高。 --- ### 实现流程概述 以下是采用 C++ 和 CGAL 库实现 Orbifold Tutte Parameterization 的基本框架: ```cpp #include <CGAL/Surface_mesh_parameterization/Orbifold_Tutte_parameterizer_3.h> #include <CGAL/Polygon_mesh_processing/orient_polygon_soup.h> typedef CGAL::Exact_predicates_inexact_constructions_kernel Kernel; typedef CGAL::Surface_mesh<Kernel::Point_3> Mesh; int main() { Mesh mesh; std::ifstream input("input.off"); if (!input || !(input >> mesh)) { std::cerr << "Error: cannot read file." << std::endl; return EXIT_FAILURE; } // Prepare parameterization traits and solver. typedef CGAL::Polygon_mesh_processing::parameters::internal::Seam_mesh<Mesh>::Type SeamMesh; typedef CGAL::Default_diagonalize_traits<typename Kernel::FT, 2> SolverTraits; CGAL::Surface_mesh_parameterization::Orbifold_Tutte_parameterizer_3<SeamMesh, SolverTraits> param; // Perform the actual computation of parameters. bool success = param.parameterize(mesh); if(!success){ std::cerr << "Parameterization failed!" << std::endl; return EXIT_FAILURE; } return EXIT_SUCCESS; } ``` 上述代码片段展示了如何加载一个 `.off` 文件格式的网格数据并调用 `Orbifold_Tutte_parameterizer_3` 类完成参数化操作。 --- ### 性能考量与其他算法对比 相比于传统的简化算法(如半边折叠算法),现代参数化方法往往具备更高的效率和更好的鲁棒性。例如,QEM(Quadric Error Metrics)虽然主要用于网格简化,但由于其时间复杂度接近线性级别,因而也被广泛应用于实时场景下的预处理阶段[^4]。然而需要注意的是,不同的应用场景决定了最适合使用的具体算法;对于某些特定需求来说,选择合适的权衡策略至关重要。 ---
评论 3
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值