26、树的简洁表示与L(2 - 1)标签问题研究

树的简洁表示与L(2 - 1)标签问题研究

自由树的简洁表示

自由树是指节点的子节点之间没有特定顺序的树。我们关注的是对这类树进行简洁编码，以便能在常数时间内进行树的导航操作。自由二叉树是自由树的一种特殊情况，其节点最多有两个子节点，或者说，是一种忽略左右分支区别的二叉树。

下界

通过信息论的计数方法，可以直接得出二叉自由树和一般自由树的下界。定义 $FB(n)$ 和 $F(n)$ 分别为具有 $n$ 个节点的自由二叉树和一般自由树的数量。虽然目前没有已知的 $FB(n)$ 或 $F(n)$ 的显式封闭公式，但这两个序列的渐近行为已得到深入研究。序列 $(FB(n))$ （$n = 1, 2, …$）被称为 Etherington - Wedderburn 序列，从其渐近行为可以推断出，渐近地有 $\lg FB(n) = (1.3122 …)n + o(n)$。Otter 描述了 $F(n)$ 的渐近行为，得出渐近地 $\lg F(n) = (1.5639 …)n + o(n)$。这意味着自由树有可能比需要 $2n + o(n)$ 位的有序树在空间表示上更高效。

树的类型	节点数为 $n$ 时所需位数的信息论下界
自由二叉树	$(1.3122 …)n + o(n)$
自由一般树	$(1.5639 …)n + o(n)$