4、安全计算范式中迭代方法与函数表示的高效评估

安全计算范式中迭代方法与函数表示的高效评估

迭代方法的安全快速评估

在迭代方法的安全快速评估中，对于所有的 (q \in (0, 1)) 和 (\epsilon > 0)，存在一个与 (d) 拓扑等价的度量 (d_{q,\epsilon})，使得 ((X, d_{q,\epsilon})) 是一个完备度量空间，并且具有以下两个性质：
1. 对于所有的 (x, y \in X)，有 (d_{q,\epsilon}(f(x), f(y)) \leq q \cdot d_{q,\epsilon}(x, y))。
2. 对于所有的 (x, y \in X)，若 (d_{q,\epsilon}(x, y) \leq \epsilon)，则 (\min{d_{q,\epsilon}(x^ , x), d_{q,\epsilon}(x^ , y), d_{q,\epsilon}(x, y)} \leq 2 \cdot \epsilon)。

第二个性质用于根据常数 (q)、(\epsilon) 以及距离 (d(x_0, x^*)) 来界定所需的迭代次数。以矩阵的幂法为例，对于实矩阵 (A)（其特征值满足 (|\lambda_1| > |\lambda_2| \geq \cdots \geq |\lambda_m|)），在 (\mathbb{R}^m) 上存在一个度量 (d(x, y))，使得对于任意向量范数 (|\cdot|)，映射 (F(x) = \frac{A \cdot x}{|A \cdot x|}) 是一个压缩映射，即对于所有的 (x, y \in \mathbb{R}^m)，有 (d(F(x), F(y)) \leq \frac{|\lambda_2