3、线性代数中的特征值、特征向量、奇异值及双线性算子

线性代数中的特征值、特征向量、奇异值及双线性算子

1. 特征值、特征向量和奇异值

矩阵具有一些与之相关的特征，其中特征值可以通过矩阵束来确定。一般来说，矩阵束可以由两个矩阵 $M$ 和 $N$（$M,N \in F^{m\times n}$）以及一个不定元 $\lambda$ 构成，形式为 $(\lambda N - M) \in F[\lambda]^{m\times n}$。

在确定方阵 $M \in F^{n\times n}$ 的特征值时，我们考虑特殊情况 $N = I \in F^{n\times n}$。假设 $M$ 是复数域上的方阵，若存在非零向量 $v \in C^n$ 使得 $Mv = \lambda v$，则称 $\lambda \in C$ 是 $M$ 的特征值，任何满足该等式的非零向量 $v$ 被称为 $M$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。

上述等式可改写为 $(\lambda I - M)v = 0$，这是一组 $n$ 个线性齐次方程。存在非平凡解（$v \neq 0$）的充要条件是 $\det(\lambda I - M) = 0$，即 $(\lambda I - M)$ 是奇异矩阵。因此，$\lambda$ 是 $M$ 的特征值当且仅当它是方程 $\det(\lambda I - M) = 0$ 的解。多项式 $\det(\lambda I - M)$ 是特征多项式，$\det(\lambda I - M) = 0$ 是特征方程。

每个 $n\times n$ 矩阵有 $n$ 个特征值，这些特征值可以是实数、复数或两者皆有，其中复特征值以共轭对的形式出现。如果两个或多个特征值相等，则称它们是重特征值。需要注意的是，特征值