23、多导体传输线频域分析中的通用解与矩阵对角化方法

多导体传输线频域分析中的通用解与矩阵对角化方法

在多导体传输线（MTL）的频域分析中，确定通用解是一个关键问题。这通常涉及到找到一个能将单位长度参数矩阵乘积 $\hat{Y} \hat{Z}$ 对角化的非奇异变换矩阵 $\hat{T}_I$。

1. 通用解的基本形式

电流的通用解可以表示为：
$\hat{I}(z) = \hat{T}_I \left( e^{-\hat{\gamma}z} \hat{I}^+_m - e^{\hat{\gamma}z} \hat{I}^-_m \right)$
其中，$\hat{T}_I^{-1} \hat{Y} \hat{Z} \hat{T}_I = \hat{\gamma}^2$，特征阻抗矩阵为 $\hat{Z}_C = \hat{Z} \hat{T}_I \hat{\gamma}^{-1} \hat{T}_I^{-1}$。

矩阵 $\hat{Y} \hat{Z}$ 的展开式为：
$\hat{Y} \hat{Z} = (G + j\omega C)(R + j\omega L) = GR + j\omega CR + j\omega GL - \omega^2 CL$

2. 矩阵对角化的条件

存在一些已知情况，使得 $n \times n$ 矩阵 $\hat{M}$ 可以通过相似变换 $\hat{T}^{-1} \hat{M} \hat{T}$ 进行对角化：
1. $\hat{M}$ 的所有特征值都不同。
2. $\hat{M}$ 是实对称矩阵。
3. $\hat{M}$ 是复矩阵但为正规矩阵，即 $\hat{M} \hat{M}^{t <