矩阵链相乘（递归、动态规划解法）

最新推荐文章于 2024-09-15 12:30:57 发布

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#矩阵 #递归

本文介绍了如何解决矩阵链相乘问题，通过递归和动态规划的方法，寻找计算多个矩阵乘积所需的最少乘法次数。具体解题思路包括递归解法，其中递归公式为m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]，并利用备忘录避免重复计算。

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题目描述

有若干个矩阵{Ai}，元素都为整数且已知矩阵大小。
如果要计算所有矩阵的乘积A1 * A2 * A3 .. Am，最少要多少次整数乘法？

输入
第一行一个整数n(n <= 100)，表示一共有n-1个矩阵。
第二行n个整数B1, B2, B3… Bn(Bi <= 100)，第i个数Bi表示第i个矩阵的行数和第i-1个矩阵的列数。
等价地，可以认为第j个矩阵Aj(1 <= j <= n - 1)的行数为Bj，列数为Bj+1。
输出
一个整数，表示最少所需的乘法次数
样例输入
6
10 1 50 50 20 5
样例输出
3650

解题思路

矩阵A1（3行4列），矩阵A2（4行5列），A1*A2=A3（3行5列），A3中一共有十五个元素，计算每个元素都需要做4次乘法，因此计算矩阵A3一共要做3*4*5次乘法运算

下列四个矩阵M1(10*20)、M2（20*50）、M3（50*1）、M4（1*100）
M1(M2(M3M4)) 共需125000次乘法
(M1(M2M3))M4 共需2200次乘法
不同的相乘顺序，所需要的乘法次数是有差别的

现在假如要计算Ai*A2*A3*… Ak*…Aj的值，则肯定存在某个k值将这些矩阵分成两部分，使得Ai*A2*A3*…Ak*…Aj的值最小，分割成的两个子问题需要各自分别递归，寻找各自的最小值，然后再加上两个子问题相乘所需的乘法次数

递归解法：
假设计算m[i][j] 为计算Ai*A2*A3*… Ak*…Aj的乘法运算的最小值，同理Ai*A2*A3*…Ak的最小值为m[i][k]，矩阵Ai的维数为：p[i-1]p[i]
假如现在分割成的两部分已经各自找到自己的最小值，则Ai*A2*A3*… Ak*…Aj的最小值为：
m[i][j] = m[