21、环境数据高级映射与贝叶斯最大熵方法解析

环境数据高级映射与贝叶斯最大熵方法解析

1. 度量对依赖模型的影响

确定时空距离的度量会影响依赖模型的可容许性。一种度量下可容许的模型，在另一种度量下可能不可容许。一般来说，能与欧几里得或非欧几里得度量相关联的一类函数如下：
[c_{X,h} = e^{-N_P(h)}]
其中，(N_P(h) = \sum_{i = 1}^{n} |h_i|^P) 且 (0 < P \leq 2)。例如：
- 协方差 (c_{X,h} = e^{-|h|^2}) 仅适用于欧几里得度量，不适用于绝对度量。
- 协方差 (c_{X,h} = e^{-N_1(h)}) 适用于非欧几里得绝对度量。

这种分析还可扩展到更一般形式的度量 (|h| = (\sum_{i = 1}^{n} \omega_i |h_i|^P)^{\frac{1}{P}})，其中 (1 \leq P < 2)，(\omega_i (i = 1, \cdots, n)) 是确定 (h_i) 方向“显著性”的权重。

2. 分形时空随机场（S/TRF）

分形范围内的协方差模型为：
[c_{X;p,c_p} \propto r^{\Delta} (W r^{\epsilon})^z]
其中，(W_0 \ll W \ll W_m) 和 (r_0 \ll r \ll r_m) 定义了时空分形范围；(-1 < z < 0) 和 (-\frac{(n + 1)}{2} < \Delta - \epsilon z < 0) 是可容许条件。具有分形行为的协方差函数为：
[c_{X;p,c_p} = \sigma_X^2 \hat{f} z (W r^{\epsilon}; u_c) \hat{f} {\Delta}(r; w_c)]
这里，(\sigma_X^2) 是方差，(u_c) 和 (w_c) 是截断值。该模型中的函数 (\hat{f}_z) 通过 (W r^{\epsilon}) 对时空滞后有不寻常的依赖。对于大的 (W)，如果 (r) 足够大，(W r^{\epsilon}) 接近 0，(\hat{f}_z) 值接近 1。关于 (\hat{f}_z)，如果 (W_1 r_1^{\epsilon} = W_2 r_2^{\epsilon})，则两对时空点等距，等距时空轮廓方程为 (W r^{\epsilon} = c)。这与高斯时空协方差模型不同，在高斯模型中，等距滞后满足方程 (r^2 \tau_r^2 + W^2 \tau_W^2 = c)。

BME 时空估计和映射依赖于所假设的度量结构，因为依赖模型是大多数映射技术的输入。使用不同的度量结构进行估计，即使是相同数据集且时空依赖由相同函数形式的协方差模型表示，也可能导致不同的时空映射。

3. 时空异质依赖：广义 S/TRF

一类由相关研究提出的异质 S/TRF 比同质平稳 S/TRF 更具一般性。设 (Q_{\theta / \phi}) 是一个时空算子，它通过消除空间中 (\theta) 阶和时间中 (\phi) 阶的异质性，将 S/TRF (X_p = X_{s,t}) 转换为同质平稳属性 (Y_p)，即：
[Q_{\theta / \phi}[X_p] = Y_p]
此时，属性 (X_p) 被称为具有空间和时间异质性阶数 (\theta) 和 (\phi) 的广义 S/TRF（STRF - (\theta / \phi)）。

广义 S/TRF 提供了属性分布的理论模型，表达了因果影响在时空中的传播方式，并给出了感兴趣尺度上属性动态的信息。对于在包含复杂边界和趋势的域内演化的自然系统，S/TRF 偏离同质平稳性的程度预计会在地理和时间上发生变化。构建局部 (Q_{\theta / \phi}) 算子以在局部邻域内产生同质/平稳属性 (Y_p) 更有意义。参数 (\theta) 和 (\phi) 提供了属性模式变化率的定量评估，异质性水平越低，(\theta) 和 (\phi) 值越小。

属性在时空上的相关性由任意一对 (p) 和 (c_p) 点之间的协方差 (c_{X;p,c_p}) 表征。该协方差在空间上非同质，在时间上非平稳，根据 STRF - (\theta / \phi) 理论，它可以分解为：
[c_{X;p,c_p} = N_{X;p - c_p} + P_{\theta / \phi}]
其中，(N_{X;p - c_p}) 称为广义时空协方差，(P_{\theta / \phi}) 是时空趋势函数。预测和映射仅需要 (N_{X;p - c_p})。例如，在印度黑死病研究中使用的一些 (N_{X;p - c_p}) 模型如下表所示：

模型形式	说明
(N_{X;r,W} = c \Gamma_r \Gamma_W + \sum_{\gamma = 0}^{\phi} (-1)^{\gamma + 1} a_{\gamma} W^{2\gamma + 1} \Gamma_r + \sum_{\mu = 0}^{\theta} (-1)^{\mu + 1} b_{\mu} r^{2\mu + 1} \Gamma_W + \sum_{\gamma = 0}^{\phi} \sum_{\mu = 0}^{\theta} (-1)^{\mu + \gamma} a_{\mu \gamma} r^{2\mu + 1} W^{2\gamma + 1})	(c, a_{\gamma}, b_{\mu}, a_{\mu \gamma}) 是根据数据集计算的系数；(\Gamma_r) 和 (\Gamma_W) 分别是空间和时间的狄拉克函数

广义协方差 (N_{X;p - c_p}) 可以用剩余普通协方差 (c_{Y;p - c_p}) 表示，因此广义时空协方差类比普通协方差类更丰富。

4. 贝叶斯最大熵（BME）

4.1 基本方程

考虑一个在时空上分布的属性 (X_p)，建模为普通或广义 S/TRF。BME 研究 (X_p) 的方法基于以下基本方程组：
[\begin{cases}
\int_{dF_p} (g - \bar{g}) e^{\mathbf{\lambda}^T g} = 0 \
\int_{dF_p [S]} e^{\mathbf{\lambda}^T g} - A f_K(p) = 0
\end{cases}]
其中，(g) 是表示关于物理情况可用的一般知识库（G - KB）的向量，(\mathbf{\lambda}) 是与 (g) 相关的系数向量（(\mathbf{\lambda}) 表示 (g) 中每个元素的相对重要性，并取决于时空坐标），([S]) 表示可用的特定地点知识库（S - KB），(A) 是归一化参数，(f_K) 是表示属性 (X_p) 在每个时空点最终分布的概率密度函数（pdf）。(f_K) 考虑了一般和特定地点知识库的整合。(g) 和 ([S]) 是输入，方程中的未知数是时空上的 (\mathbf{\lambda}) 和 (f_K)。

完整的 pdf (f_K) 是许多科学应用和风险评估研究的关键组件。从 (f_K) 可以选择时空属性估计（或预测）(\hat{X} p)。例如：
- BMEmode 估计：(\hat{X} {p,mode} = \max_{X_p} f_K)
- BMEmean 估计：(\hat{X} {p,mean} = \int {dF_p} F_p f_K)

由于 (X_p) 分布的随机性和数据不准确，使用 (f_K) 来评估 (\hat{X} p) 值的不确定性。常用的准确性度量是 (f_K) 的预测误差标准（std）偏差：
[V_K(p) = [\int {dF_p} (F_p - X_p)^2 f_K]^{\frac{1}{2}}]

基本方程 [6.30] 是一个非常通用和简洁的表达式，总结了许多作为其特殊情况的理论和应用结果，具体取决于 (g) 和 ([S]) 的选择，而 (g) 和 ([S]) 又取决于主体的认知条件和问题的目标。

以下是 mermaid 格式流程图，展示 BME 基本方程的相关流程：

graph LR
    A[输入 g 和 [S]] --> B[求解基本方程 [6.30]]
    B --> C[得到 \(\mathbf{\lambda}\) 和 \(f_K\)]
    C --> D[计算 \(\hat{X}_p\)]
    C --> E[评估 \(\hat{X}_p\) 的不确定性]

BME 具有以下特点：
- 科学方法论涉及基于大脑和行为功能的进化原则，可在单一方案中涵盖不同现象和跨学科描述。
- 假设时空坐标系能适应欧几里得和非欧几里得度量，考虑属性变异性和潜在物理机制。
- 考虑多源不确定性（概念和技术、本体和认知）。
- 用依赖模型（协方差和变异函数、可分离和不可分离、普通和广义）表示时空模式。
- 可纳入高阶矩。
- 在每个网格点提供基于预测概率定律的完整系统表征，通常是非高斯的。
- 假设非线性属性预测器，而非常用的限制性线性或线性化属性估计器。
- 依赖自然的基于知识的方法论，可严格纳入物理定律、理论模型、科学理论和既定的经验关系。
- 提供有效的贝叶斯同化规则，可考虑不同类型的时空支持和多个属性。
- 可处理分类变量和以模糊集形式表示的次要知识。

许多先前的结果（如空间回归和地质统计克里金技术）可在有限条件下作为 BME 的特殊情况轻松推导得出。BME 可用于解决各种问题，如研究饱和地下水流的反问题、求解代表不同物理定律的随机微分方程、地理信息科学和决策分析中的应用、数据融合和图像处理问题等。

4.2 方法概述

从概念上讲，BME 是认知学背景下多学科知识综合的重要组成部分。认知学建立了一个广泛的框架，在这个框架中，不同学科中描述组成现象的不同心理实体集被整合起来，以解决（描述、解释和预测）复杂的现实世界问题。

BME 的发展（理论和应用）因所涉及的科学学科而异。BME 理论不断在更广泛的概念框架内被研究，而 BME、GBME 等技术已在各种科学学科的实际研究中得到成功应用。以下是 BME 各组成部分的简要概述：

组成部分	作用
定量评估	生成预测、评估时空依赖、表征不确定性等
多学科知识库整合	为科学、文化、社会、经济等多学科知识库建立通用整合框架
论证模式澄清	明确潜在的论证模式，如分类、类比、数学、实验等

与任何动态概念系统一样，BME 理论也面临着一些重大挑战。不过，BME 也有多种扩展形式，具体如下：
- 广义 BME（GBME） ：涉及 STRF - (\theta / \phi) 模型，可直接处理异质时空模式和非高斯数据分布。
- 随机逻辑时空预测器 ：为时空预测提供了新的方法。
- 纳入 Spartan 随机场模型 ：可以通过物理或直观动机的“相互作用”来表示时空依赖，而不是依赖数据驱动的协方差矩阵。

BME 在实际应用中有诸多示例：
- 饱和地下水流反问题研究 ：[SER 03c] 使用 BME 研究饱和地下水流的反问题。具体操作步骤为：首先收集与饱和地下水流相关的各种数据，包括流量、水位等信息，将其作为输入的 (g) 和 ([S])；然后根据 BME 的基本方程 [6.30] 进行求解，得到 (\mathbf{\lambda}) 和 (f_K)；接着根据 (f_K) 计算相关的参数估计值 (\hat{X}_p)，并评估其不确定性；最后根据计算结果对饱和地下水流的反问题进行分析和解答。
- 随机微分方程求解 ：[KOL 02, PAP 06 和 YU 07b] 应用 BME 求解代表不同物理定律的随机微分方程。操作流程为：先确定随机微分方程所描述的物理系统，收集该系统的相关数据作为输入；将数据代入 BME 基本方程进行求解；利用求解得到的结果来确定随机微分方程的解，并评估解的不确定性。
- 地理信息科学和决策分析 ：[CHR 02c 和 CHR 06] 提出了 BME 在地理信息科学和多维环境决策分析中的各种应用。具体做法是：收集地理信息和决策相关的数据，构建合适的 (g) 和 ([S])；运用 BME 方法进行计算和分析，得到地理信息的预测和决策的依据；根据计算结果进行地理信息的处理和决策的制定。
- 数据融合和图像处理 ：[FAS 07a 和 b, BOG 07] 使用 BME 解决数据融合和图像处理问题。步骤如下：收集不同来源的数据和图像信息，作为输入数据；将这些数据应用 BME 方法进行融合和处理；根据处理结果进行图像的分析和处理，以及数据的综合利用。

以下是 mermaid 格式流程图，展示 BME 应用的一般流程：

graph LR
    A[确定应用问题] --> B[收集相关数据作为 g 和 [S]]
    B --> C[应用 BME 基本方程求解]
    C --> D[得到 \(\mathbf{\lambda}\) 和 \(f_K\)]
    D --> E[计算 \(\hat{X}_p\) 并评估不确定性]
    E --> F[根据结果解决应用问题]

综上所述，BME 是一种强大而灵活的方法，在环境数据高级映射以及众多科学领域中具有广泛的应用前景。它能够综合考虑多种因素，处理复杂的时空数据和不确定性问题，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。同时，其不断发展的扩展形式也为应对更多复杂情况提供了可能。