LeetCode 486.预测赢家

最新推荐文章于 2025-05-22 02:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2025-05-22 02:00:00 发布 · 1.2k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

LeetCode 专栏收录该内容

26 篇文章

订阅专栏

本文探讨了如何使用博弈论中的Minimax算法预测分数游戏中玩家1是否能成为赢家。通过动态规划方法，建立了dp数组来计算玩家1在任意子数组中能获得的最大分数差，最终判断玩家1能否赢得游戏。

题目描述：

给定一个表示分数的非负整数数组。玩家1从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家2继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家1拿，……。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例1

输入: [1, 5, 2]
输出: False
解释: 一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择2（或者1），那么玩家2可以从1（或者2）和5中进行选择。如果玩家2选择了5，那么玩家1则只剩下1（或者2）可选。
所以，玩家1的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家2为 5。
因此，玩家1永远不会成为赢家，返回 False。

示例2

输入: [1, 5, 233, 7]
输出: True
解释: 玩家1一开始选择1。然后玩家2必须从5和7中进行选择。无论玩家2选择了哪个，玩家1都可以选择233。
最终，玩家1（234分）比玩家2（12分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家1可以成为赢家。

说明

1 <= 给定的数组长度 <= 20.
数组里所有分数都为非负数且不会大于10000000。
如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家1仍为赢家。

解题思路

一个典型的Minimax算法的应用，两个玩家都要使自己的利益最大化，使对手的利益最小化。Minimax是一个零和博弈中的算法。而Alpha-beta剪枝则是一个基于Minimax的剪枝算法（当算法评估出某策略的后续走法比之前策略的还差时，就会停止计算该策略的后续发展）。

两人依次拿，如果Player1赢，则Player1拿的>Player2拿的。把Player1拿的视为"+"，把Player2拿的视为"-"，如果最后结果大于等于0则Player1赢。

动态规划

建立dp[len][len]数组，dp[i][j]表示nums[i, j]下标间玩家1能够获得的分数减去玩家2能够获得的最大分数差，最后看dp[0][len-1]的正负来判断1是否能赢。
先看dp[i][j]存储玩家1能从任意子数组[i,j]中获得的最大分数的情况：
给定一个数组nums[i,j]，玩家1能够拿nums[i]或者nums[j]，剩下一个新的数组nums[i+1, j]或者nums[i, j-1]，然后轮到玩家2拿，因为是博弈游戏，所以玩家2能拿到的最大数值是玩家1能拿到的最大数值。
####### 状态转移方程：
dp(i, j) = max((sum(i, j-1) - dp(i, j-1) + nums[j]), (sum(i+1, j) - dp(i+1, j) + nums[i])) = max((sum(i, j) - dp(i, j-1)), (sum(i, j) - dp(i-1, j))) = sum(i, j) - min(dp(i-1, j), dp(i, j-1))
可以将sum(i,j)从公式中消除，只存储玩家1和玩家2的最大差值，比如玩家1得到A，玩家2得到B，用dp来存储A-B，如果A=dp(i, j)，那么B=sum(i, j) - dp(i, j)。

因此 dp'(i, j) = dp(i, j) - ( sum(i, j) - dp(i, j) ) = 2*dp(i, j) - sum(i, j), 所以2*dp(i, j) = dp'(i, j) + sum(i, j)

dp'(i, j) = dp(i, j) - ( sum(i, j) - dp(i, j) ) = 2dp(i, j) - sum(i, j) = 2 * max( sum(i, j) - dp(i, j-1), sum(i, j) - dp(i+1, j) ) - sum(i, j) = max(sum(i, j) - 2*dp(i, j-1), sum(i, j) - 2*dp(i+1, j) ) = max(sum(i, j) - ( dp'(i, j-1) + sum(i, j-1) ), sum(i, j) - ( dp'(i+1, j) + sum(i+1, j))) = max(sum(i, j) - sum(i, j-1) - dp'(i, j-1), sum(i, j) - sum(i+1, j) - dp'(i+1, j)) = max(nums[j] - dp'(i, j-1), nums[i] - dp'(i+1, j))

最后的公式: dp(i, j) = max(nums[j] - dp(i, j-1), nums[i] - dp(i+1, j))

代码

/**
 * @Author: Dunfu Peng
 * @Date: 2019/4/12 20:04
 */
public class Solution {

    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        int len=nums.length;
        int[][] dp=new int[len][len];
        dp[0][0]=nums[0];
        for (int i = 1; i <len ; i++) {
            dp[i][i]=nums[i];
            for (int j = 0; j <len-i ; j++) {
                int k=i+j;
                dp[j][k]=Math.max(nums[j]-dp[j+1][k],nums[k]-dp[j][k-1]);
            }
        }
        return dp[0][len-1]>=0;
    }
}

欢迎关注我的微信公众号，接收最新动态。