【数据结构与算法】之深度和广度优先搜索 --- 第十七篇

最新推荐文章于 2023-09-21 22:12:19 发布

转载最新推荐文章于 2023-09-21 22:12:19 发布 · 271 阅读

文章标签：

#深度 #广度 #优先搜索 #DFS #BFS

数据结构与算法专栏收录该内容

35 篇文章

订阅专栏

本文深入解析了广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）算法，阐述了这两种算法在图数据结构上的应用，包括算法原理、代码实现及时间、空间复杂度分析。并以社交网络中寻找三度好友关系为例，展示了算法的实际应用场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

上一篇：图的基本概念：https://blog.youkuaiyun.com/pcwl1206/article/details/84751541

本文为极客时间《数据结构与算法之美》专栏的学习笔记：原文链接（点击）

本文目录：

1、什么是“搜索”算法

2、广度优先搜索（BFS）

3、深度优先搜索（DFS）

4、总结

在上一节中，讲述了图的表示方法，讲到如何用有向图、无向图来表示一个社交网络。在社交网络中，有一个六度分隔理论。具体点说，就是，你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度，也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不认识的人。

一个用户的一度连接用户自己的好友，二度连接用户就是他好友的好友，三度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中，我们往往通过用户之间的连接关系，来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。

那么现在给出这样一个问题：给你一个用户，如何找出这个用户的所有三度（其中包括一度、二度和三度）好友关系？

答案是：使用深度优先和广度优先搜索算法。

1、什么是“搜索”算法

算法都是基于具体的数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构。这是因为，图这种数据结构的表达能力强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是：在图中找出一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如：深度优先、广度优先搜索算法以及 A*、IDA* 等启发式搜索搜索算法。

图有两种主要的存储方式：邻接表和邻接矩阵。下面讲述的例子是使用邻接表来存储图。

深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图上，也可以用在有向图上。本文的例子使用的是无向图。

下面给出图的代码实现：

package com.zju.search;

import java.util.LinkedList;

// 无向图
public class Graph {

	private int v;   // 顶点的个数
	private LinkedList<Integer> adj[];   // 邻接表
	
	public Graph(int v){
		this.v = v;
		adj = new LinkedList[v];
		for (int i = 0; i < v; ++i) {
			adj[i] = new LinkedList<>();
		}
	}
	
	// 无向图一条边存两次
	public void addEdge(int s, int t){
		adj[s].add(t);
		adj[t].add(s);
	}
}

2、广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First-Search），我们平常都简称为 BFS。直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。

广度优先搜索的原理挺简单的，但是其实现代码还是有一定难度的。

如下面代码所示：bfs() 函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现的。其中 s 表示起始顶点， t 表示终止顶点。我们搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上，广度优先搜索算法求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。

// 广度优先搜索算法
public void bfs(int s, int t){
	if(s == t){
		return;
	}
	
	boolean[] visited = new boolean[v];
	visited[s] = true;
	Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
	queue.add(s);
	int[] prev = new int[v];
	
	for (int i = 0; i < v; ++i) {
		prev[i] = -1;
	}
	
	while(queue.size() != 0){
		int w = queue.poll();
		for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
			int q = adj[w].get(i);
			if(!visited[q]){
				prev[q] = w;
				if(q == t){
					print(prev, s, t);
					return;
				}
				visited[q] = true;
				queue.add(q);
			}
		}
	}
	
}

private void print(int[] prev, int s, int t) {
	if(prev[t] != -1 && t != s){
		print(prev, s, prev[t]);
	}
	System.out.println(t + " ");
}

这段代码不是很好理解，里面有三个重要的辅助变量：visited、queue、prev。只要理解这三个变量，读懂这段代码也不会有太大问题。

visited：是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问，那相应的 visited[q] 会被设置为 true。

queue：是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第 k 层的顶点都访问完成之后，才能访问第 k + 1 层的顶点。当我们访问到第 k 层的顶点的时候，我们需要把第 k 层的顶点记录下来，稍后才能通过第 k 层的顶点找到第 k + 1 层的顶点。所以，就用这个队列来实现记录的功能。

prev：用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始，广度优先搜索到顶点 t 后，prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w] 存储的是：顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如：我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3，那么 prev[3] 就等于2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印，具体参考 print() 函数的实现方式。

下图是一个广度优先搜索的分解图：

我们再来看下，广度优先搜索的时间和空间复杂度是多少？

最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V + E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是联通的，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为：O(E)。

广度优先搜索的空闲消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。

3、深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。

假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，你就退回到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

现在我们来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径？

可以看下图，搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，我们希望在图中找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在的位置，t 就是出口。

下图中用深度递归算法，把整个搜索的路径都标记出来了。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中，我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。

实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想：回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。

深度优先搜索代码实现也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是：当我们已经找到终止顶点 t 之后，就不需要再递归继续查找了。

boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量

public void dfs(int s, int t) {
	found = false;
	boolean[] visited = new boolean[v];
	int[] prev = new int[v];
	for (int i = 0; i < v; ++i) {
		prev[i] = -1;
	}
	recurDfs(s, t, visited, prev);
	print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
	if (found == true) return;
	visited[w] = true;
	if (w == t) {
		found = true;
		return;
	}
	for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
		int q = adj[w].get(i);
		if (!visited[q]) {
			prev[q] = w;
			recurDfs(q, t, visited, prev);
		}
	}
}

那么再来看下，深度优先搜索的时间和空间复杂度是多少？

从前面的图中可以看到，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E 表示边的个数。

深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是：O(V)。

现在我们再来看下开篇的问题：如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系？

可以使用广度优先搜索算法，因为广度优先搜索算法是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离边数为 3 的顶点，也就是三度好友关系。我们只需要稍加改造下广度优先搜索代码，用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离，就非常容易找出三度好友关系。

4、总结

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如：A*、IDA* 等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是图不大的搜索。

广度优先搜索，就是地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是：起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是 O(E)，空间复杂度是O(V)。