17、量子计算与密码学基础

量子计算与密码学基础

1. 酉矩阵与置换矩阵

酉矩阵是一种方阵，其共轭转置矩阵就是它的逆矩阵。求共轭转置时，先将矩阵转置，再求每个元素的复共轭。例如，复数 (A + iB) 的复共轭是 (A - iB)。

当酉矩阵的每一行和每一列只有一个元素为 1，其余元素为 0 时，这种矩阵被称为置换矩阵 (P)，即每行和每列的元素之和都为 1。在量子物理学的单量子比特逻辑门中，如后文将介绍的泡利门，可以用简单的 (2\times2) 矩阵表示。

2. 特征相关概念

2.1 特征值与特征向量

任何一组数据点都可以分解为特征值和对应的特征向量。特征向量是指在经过线性变换后方向保持不变的向量。特征值表示数据集在特征向量方向上的方差大小。从几何角度看，特征向量指向变换后向量缩放的方向，而特征值则是缩放的因子。

线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的函数，两个向量空间具有相同的线性结构，也称为线性映射。向量空间是向量的集合，向量可以相加，也可以与标量相乘。

特征向量和特征值在计算领域有很多重要应用，如人脸识别和各种（半）自动化分析。一些搜索引擎，如谷歌，利用特征值和特征向量来提供尽可能准确的搜索结果。

2.2 特征态

某个算符的特征态是一种量子态，对其进行测量会得到一个结果，它本质上指的是前面讨论过的叠加现象。

2.3 特征函数

特征函数是一组独立的函数，用于求解微分方程（这类方程帮助我们理解事物的变化）。在量子力学中，最重要的偏微分方程之一是薛定谔方程，它描述了波函数，即量子态。薛定谔通过他的方程将经典力学与量子物理相结合