回溯法解决01背包问题

一、问题描述：有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、总体思路：因为回溯求解的规则是“后进先出”，所以要用栈来存放符合条件的解，在存储过程中用数组来存放各个物品的体积和价值，然后用深度优先搜索的方式求解，最后得到符合条件的最优解并输出。

三、c语言代码如下：

#include<stdio.h>
int bc,n; //bc为背包容量，n为商品数量
int w[10],v[10];  //w数组存放对应商品的重量，v数组存放对应商品的价值
int cbv;  //当前最优价值
int bv;   //最优价值
int cw;  //点前重量
int ba[10]; //最优解商品的取法
int cba[10]; //当前最优解商品的取法
void Backtracking(int i);
int main()
{
    int i;
    printf("请输入商品总数：\n");
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("请输入第%d件商品的重量和价值\n",i);
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    }
    printf("请输入背包的总容量：\n");
    scanf("%d",&bc);
    //初始化
    cbv=0;
    bv=0;
    cw=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        ba[i]=0;
        cba[i]=0;
    }
    //输出商品价值重量表格
    printf("商品对应的重量与价值：\n      ");
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",i);
    printf("\n");
    printf("重量: ");
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",w[i]);
    printf("\n");
    printf("价值: ");
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",v[i]);
    printf("\n");
    //寻找最优解
    Backtracking(1);
    //输出最优解
    printf("**************************************\n");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(ba[i]==1)
            printf("取第%d件商品\n",i);
    }
    printf("最优解为%d\n",bv);
}

void Backtracking(int i)
{
    if(i>n)
    {
        if(cbv>=bv)
        {
            bv=cbv;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                ba[j]=cba[j];
        }
        return;
    }
    if(w[i]+cw<=bc)
    {
        //装入背包
        cba[i]=1;
        cw+=w[i];
        cbv+=v[i];
        Backtracking(i+1);
        cw-=w[i];
        cbv-=v[i];
    }
    cba[i]=0;   //回溯前清理现场
    Backtracking(i+1);
}

四、运行结果如下：

五、分析
回溯法的重点是在于搞清楚界限函数和什么时候递归，以及回溯的具体时间和位置，搞清楚了这些之后代码的编写还是很简单的，主要是要搞清楚回溯法的原理和思想。