计算几何基础

先介绍一些平面解析几何的知识，可以用来解决比如判断线段相交，判断点在多边形内等等问题，还有几道题目，有兴趣的自己做做：）

1. 矢量减法

设二维矢量 P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2)
则矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )
显然有性质 P - Q = - ( Q - P )
如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；

2.矢量叉积

设矢量P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2)
则矢量叉积定义为：  P × Q = x1*y2 - x2*y1   得到的是一个标量
显然有性质 P × Q = - ( Q × P )   P × ( - Q ) = - ( P × Q )
如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉积；
叉乘的重要性质：
    >  若 P × Q  >  0 ,  则P 在Q的顺时针方向
    >  若 P × Q  < 0 ,  则P 在Q的逆时针方向
    >  若 P × Q  = 0 ,  则P 与Q共线，但可能同向也可能反向

3.判断点在线段上

设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：
( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0  且 Q 在以 P1，P2为对角顶点的矩形内

4.判断两线段是否相交

我们分两步确定两条线段是否相交：
(1)．   快速排斥试验
设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R， 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相
交，显然两线段不会相交；
(2)．   跨立试验
如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则
矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )  *  ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )  <  0
上式可改写成
    ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )  *  ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 )  >   0
当  ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明   ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，
但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×(
 P2 - Q1 )  = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。
    所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：
    ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 )  *  ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 )  ≥  0
    同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：
    ( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 )  *  ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 )  ≥  0
至此已经完全解决判断线段是否相交的问题。

和上述知识有关的题目主要有：(acm.zju.edu.cn)
1280  Intersecting Lines  几何题，求两直线交点 
1648  Circuit Board 典型的判断线段相交，用上面所说的叉乘
1081  Points Within 判断点是否在多边形内部，可以用叉乘解决，
有点麻烦，大家想一想