B树

B树（B-树或Ｂ_树）

　　最近需要了解B树的相关知识，故在此刨根问底从二叉查找树看起。并做以下记录。以下转自寒江独钓的博客。

1、二叉查找树

　　二叉查找树（Binary Search Tree）的定义如下：

1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。
2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
3. 任意节点的左右子树也分别为二叉查找树。
4. 没有键值相等的节点。

2、2-3树

　　和二叉树不一样，2-3树运行的每个节点保存 1 个或者 2 个的值。对于普通的 2 节点，它保存一个 key 和左右两个子节点。对于 3 节点，它保存两个 key。2-3树的定义如下：

1. 要么为空，要么满足以下条件。
2. 对于 2 节点，该节点保存一个 key 及其对应的 value，以及两个指向左右节点的地址。左节点也是个2-3节点，所有的值都比 key 小，右节点也是一个2-3节点，所有的值都要比key大。
3. 对于 3 节点，该节点保存两个 key 和其对应的 value，以及三个指向左中右节点的地址。左节点也是一个2-3节点，其中所有的值均要比当前节点的两个 key 值中最小的那个还要小。中间节点也是一个2-3节点，中间节点的 key 值要在当前节点中的两个 key 之间。右节点也是一个2-3节点，节点的 key 值要比当前节点的两个 key 中最大的那个还大。

3、红黑树

　　红黑树的主要是想对2-3数进行编码，尤其是对2-3树中的 3-nodes 节点添加额外的信息。红黑树中将节点之间的链接分为两种不同类型，红色链接，他用来链接两个2-nodes节点来表示一个3-nodes节点。黑色链接用来链接普通的 2-3 节点。特别的，使用红色链接的两个 2-nodes 来表示一个 3-nodes 节点，并且向左倾斜，即一个 2-node 是另一个 2-node 的左子节点。这种做法的好处是查找的时候不用做任何修改，和普通的二叉查找树相同。

　　红黑树是一种具有红色和黑色链接的平衡查找树，根据以上描述，红黑树定义如下：

1. 红色节点向左倾斜。
2. 一个节点不可能有两个红色链接。
3. 整个树完全黑色平衡，即从根节点到所以叶子结点的路径上，黑色链接的个数都相同。

4、B树

　　1970年，R.Bayer 和 E.mccreight 提出了一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树）。一棵 M 阶 B 树（balanced tree of order m）是一棵平衡的 M 路搜索树。同时 B 树也可以看做是对 2-3 树的一种扩展，它允许每个节点至多有 M-1 个子节点。一个 M 阶的 B 树定义如下（出自数据结构C语言版-严蔚敏）：

• 树中的每个节点至多有 m 棵子树（即每个非节点至多有 m - 1 个 key）。
• 若根节点不是叶子节点，则至少有两棵子树。
• 除根节点之外的所有非终端节点至少有$\lfloor m/2\rfloor$棵子树（即每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：$\lfloor m/2\rfloor-1\le j \le m-1$。
• 所有的非终端节点包含下列信息数据（$n,A_0,K_1,A_1,...,K_n,A_n$）。 其中$K_i$为关键字且$K_i \le K_{i+1}$。$A_i(i=0,...,n)$为指向子树根节点的指针。
• 所有的叶子节点都出现在同一层次上。