31、从单向函数构造通用单向哈希函数：以规律性换取效率及随机受限原像映射分析

从单向函数构造通用单向哈希函数：以规律性换取效率及随机受限原像映射分析

1 从单向函数构造通用单向哈希函数

在从单向函数（OWF）构造通用单向哈希函数（UOWHF）的过程中，我们可以通过不同的假设来实现更高效的构造。

1.1 Hoeffding 界的应用

Hoeffding 界表明，设置 $t = O(\frac{s’^2(n) \cdot s^2(n)}{\log(n)})$ 能确保由于对 $F$ 的独立输入进行采样而产生的误差小于累积差距。具体如下：
- $\Pr_{z_t \stackrel{r}{\leftarrow} Z_t} \left[ \log (|S_{z_t}|) > t \cdot k’ + \frac{c}{6} \cdot s’(n) \cdot \sqrt{t \cdot \alpha(n) \cdot \log(n)} \right] \leq n^{-\alpha(n)}$
- $\Pr_{z_t \stackrel{r}{\leftarrow} Z_t} \left[ \log \left( \pi_{F^t}(z_t) \right) < t \cdot (k’ + \Delta’) - \frac{c}{6} \cdot s’(n) \cdot \sqrt{t \cdot \alpha(n) \cdot \log(n)} \right] \leq n^{-\alpha(n)}$

将相关式子代入后，除了极小概率情况，存在至少为 $t \cdot \Delta - t \cdot negl(n) - \frac{c}{3} \cdot s’(n) \cdot \sqrt{t \cdot \a