9、基于微分变换的激光热疗问题研究

基于微分变换的激光热疗问题研究

1. 引言

热疗是一种利用物理手段将肿瘤或身体癌变区域温度升高至41 - 43°C的治疗方法，具有细胞毒性，可破坏肿瘤，还能增强放疗、化疗等其他癌症治疗效果。热源能量通常由射频、微波、超声、激光等提供，其中激光可通过细软管到达人体难以触及部位，也能通过光纤进入肿瘤进行加热和破坏。

在热疗过程中，需要高能量和长时间照射来破坏肿瘤，这常导致显著的温度梯度，对周围组织有害。因此，在热疗杀死癌细胞的过程中，预测肿瘤和周围组织的温度，避免损伤正常组织至关重要。

过去几十年，有许多模型用于描述生物组织的热传递。其中，Pennes生物热传递模型被广泛用于描述生物组织的温度分布，该模型基于经典的傅里叶定律，假设温度在生物体内瞬间均匀分布，这在宏观热传递中意味着热通量能在极短时间内快速传播。然而，对于微观热传递问题，如极低温度、低压气体、低温工程等情况，这种分析不再有效。因此，提出了有限速度热传播的概念，以描述生物热传递过程中的热行为。

2. 微分变换方法

微分变换的概念由Zhou提出，他还提出了一种求解微分方程的数值方法。该方法是对电路分析中求解线性和非线性初值问题方案的扩展，能以多项式形式构建解析解。与传统的高阶泰勒级数方法不同，它不需要对相关函数进行大量必要导数的符号计算，在处理高阶系统时计算量更小。

微分变换可总结如下：

2.1 微分变换公式

[
X(k; t_0) = \frac{1}{M(k)} \left[ \frac{d^k}{dt^k} [q(t)x(t)] \right]_{t = t_0}
]
其中，$k$